1.

Seja f : R 2 → R uma função diferenciável e considere   γ : R → R 3 dada por:

γ t = t , 2 t 2 , t 2 ,   ∀ t ∈ R

Seja r a reta tangente à curva de nível 4 de f no ponto 2,8 . Sabendo que a imagem de γ está contida no gráfico de f e que a reta r passa pelo ponto 1 , - 4 , determine:

  1. O vetor gradiente de f no ponto 2,8
  2. A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 2,8 , f 2,8 .
Resolução
2.

A função f : R 2 → R é diferenciável e f - t , t = 2 t 3 - t ,   ∀ t ∈ R . Sabendo que o ponto 0,2 , 12 pertence ao plano tangente ao gráfico de f no ponto - 1,1 , 1 , determine ∇ f - 1,1 e dê a equação do plano tangente.

Resolução
3.

Seja f : R 2 → R uma função diferenciável que satisfaz

  1. A imagem da curva γ t = t , t 3 + 1 , t 2 - t está contida no gráfico de f .
  2. f s - 1 , s 2 = 2 , ∀ s ∈ R .

Considere, ainda, o ponto P = - 1,0 , f - 1,0 .

a) Determine f - 1 , 0 e dê uma equação para a reta tangente à curva γ em P .

b) Calcule ∇ f - 1,0 e dê a equação do plano tangente ao gráfico de f em P .

c) A superfície 2 x z - 2 y + z 2 = 0 intercepta o gráfico de f em uma curva C que contém P . Determine uma equação para a reta tangente à curva C no ponto P .

Resolução
4.

Seja π o plano tangente ao gráfico de uma função f em um ponto x 0 , y 0 ,   f x 0 , y 0 . Seja γ t = 1 + 1 t , t   ,   t ≠ 0 uma parametrização para a curva de nível 1 de f e suponha que x 0 , y 0 = γ t 0 para algum t 0 . Determine uma equação para o plano π sabendo que ele contém os pontos 1 , 1 , 1 2     e   4,1 , 2 .

Resolução
5.

Seja f   : R 2 → R uma função diferenciável. Seja γ t = ( 2 t , t 2 , z t ) uma curva diferenciável tal que sua imagem está contida no gráfico de f . A equação da reta tangente a γ em γ ( 1 ) é x , y , z = 2,1 , - 2 + λ ( 1,1 , 4 ) com λ ∈ R . Determine A e B para que o plano de equação z = A x + B y - 3 seja o plano tangente ao gráfico de f em ( 2,1 , f 2,1 ) .

Resolução
6.

Seja f : R 2 → R uma função diferenciável e considere   γ : R → R 3 dada por:

γ t = t , 2 t 2 , t 2 ,   ∀ t ∈ R

Seja r a reta tangente à curva de nível 4 de f no ponto 2,8 . Sabendo que a imagem de γ está contida no gráfico de f e que a reta r passa pelo ponto 1 , - 4 , determine:

  1. O vetor gradiente de f no ponto 2,8
  2. A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 2,8 , f 2,8 .
Resolução
7.

Seja π o plano tangente ao gráfico de uma função f em um ponto x 0 , y 0 ,   f x 0 , y 0 . Seja γ t = 1 + 1 t , t   ,   t ≠ 0 uma parametrização para a curva de nível 1 de f e suponha que x 0 , y 0 = γ t 0 para algum t 0 . Determine uma equação para o plano π sabendo que ele contém os pontos 1,1 , 1 2     e   4,1 , 2 .

Resolução
8.

Seja f   : R 2 → R uma função diferenciável. Seja γ t = ( 2 t , t 2 , z t ) uma curva diferenciável tal que sua imagem está contida no gráfico de f . A equação da reta tangente a γ em γ ( 1 ) é x , y , z = 2,1 , - 2 + λ ( 1,1 , 4 ) com λ ∈ R . Determine A e B para que o plano de equação z = A x + B y - 3 seja o plano tangente ao gráfico de f em ( 2,1 , f 2,1 ) .

Resolução
9.

Seja F : R 3 → R uma função diferenciável e seja π o plano tangente à superfície de nível 0 de F no ponto - 2,4 , - 2 . Supondo que as duas afirmações a seguinte sejam verdadeiras:

  • A curva σ t = t , t 2 ,   t 3 + 2 t 2 + t ,   t ∈ - ∞ , 0 , tem sua imagem contida na superfícies de nível 0 de F .
  • A reta r , dada por x , y , z = 1,1 , 1 + α 1 , - 2,0 , α ∈ R , é paralela ao plano π .

Determine a equação do plano π .

Resolução
10.

A função f : R 2 → R é diferenciável e f - t , t = 2 t 3 - t ,   ∀ t ∈ R . Sabendo que o ponto 0,2 , 12 pertence ao plano tangente ao gráfico de f no ponto - 1,1 , 1 , determine ∇ f - 1,1 e dê a equação do plano tangente.

Resolução
11.

Sejam f   : R 2 → R 2 uma função diferenciável e a curva γ   : R → R 3 definida por

γ t = t 3 + 1 , - t , t 6 + 2 t 3 - 2 t 2 + 1

Suponha que a imagem de γ está contida no gráfico de f e que o ponto ( 3,0 , 10 ) pertence ao plano tangente ao gráfico de f no ponto 2 , - 1 , f 2 , - 1 . Determine uma equação desse plano.

Resolução
12.

Qual das seguintes curvas está contida no plano tangente à superfície

z = 1 + 2 x 2 + y 2

No ponto ( 1 , - 1,2 ) .

  1. γ t = 3 t , 2 t + 1,2 t
  2. γ t = t , - t , 1 + 3 t 2
  3. γ t = 2 t - 1 , t - 2,2 t
  4. γ t = 3 t - 2,1 - 2 t , 2 t 2
  5. γ t = 3 t + 1,2 t + 1,2 t + 2
Resolução
13.

Qual das seguintes curvas está contida no plano tangente à superfície

z = 1 + x 2 + 2 y 2

No ponto ( 1,1 , 2 ) .

  1. γ t = 2 t , t + 1,2 t
  2. γ t = t , t , 1 + 3 t 2
  3. γ t = t + 2,2 t + 1 , - 2 t
  4. γ t = 2 t - 1,3 t - 2 , t 2
  5. γ t = t + 1,3 t + 1,3 t + 3
Resolução
14.

Considere uma função f   : R 2 → R de classe C 1 . Suponha que:

i ) A imagem da curva plana γ t = sec 2 ⁡ t , tan ⁡ t   ,   t ∈ ]   π / 2 ,   3 π / 2 [     esteja contida numa curva de nível de f

i i ) A imagem da curva no espaço σ u = u , u 2 - 4 u - 4 u , 4 u 4 - 2 u 3 + u   ,   u > 0 esteja contida no gráfico de f

Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 2 , - 1 , f 2 , - 1 .

Resolução
15.

Qual das seguintes curvas está contida no plano tangente à superfície

z = 1 + 2 x 2 + y 2

No ponto ( 1,1 , 2 ) .

  1. γ t = t , 2 t + 1,2 t
  2. γ t = t , t , 1 + 3 t 2
  3. γ t = 2 t + 1 , t + 2 , - 2 t
  4. γ t = 3 t - 2,2 t - 1,2 t 2
  5. γ t = 3 t + 1 , t + 1,3 t + 3
Resolução
16.

Considere uma função f   : R 2 → R de classe C 1 . Suponha que:

i ) A imagem da curva plana γ t = cos sec 2 ⁡ t , co tan ⁡ t   ,   t ∈ ]   0 ,   π [     esteja contida numa curva de nível de f

i i ) A imagem da curva no espaço σ u = u , u 2 - 4 u - 4 u , 4 u 4 - 2 u 3 + u   ,   u > 0 esteja contida no gráfico de f

Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 2 , - 1 , f 2 , - 1 .

Resolução
17.

Qual das seguintes curvas está contida no plano tangente à superfície

z = 1 + x 2 + 2 y 2

No ponto ( 1 , - 1,2 ) .

  1. γ t = 2 t + 1,3 t , 2 - 2 t
  2. γ t = t , - t , 1 + 3 t 2
  3. γ t = 2 t - 1 , t - 2,2 t
  4. γ t = 3 t - 2,1 - 2 t , 2 t 2
  5. γ t = 2 t + 1,3 t + 1 , - 3 t - 1
Resolução
18.

Seja f : R → R uma função diferenciável. Mostre que os planos tangentes à superfície de equação z = y f y x passam todos pela origem.

Resolução

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