Exercícios Resolvidos de Plano tangente e Curva de Nível

Curvas Parametrizadas, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia, Interseção de Superfícies

Seja f : R 2 → R uma função diferenciável que satisfaz

  1. A imagem da curva γ t = t , t 3 + 1 , t 2 - t está contida no gráfico de f .
  2. f s - 1 , s 2 = 2 , ∀ s ∈ R .

Considere, ainda, o ponto P = - 1,0 , f - 1,0 .

a) Determine f - 1 , 0 e dê uma equação para a reta tangente à curva γ em P .

b) Calcule ∇ f - 1,0 e dê a equação do plano tangente ao gráfico de f em P .

c) A superfície 2 x z - 2 y + z 2 = 0 intercepta o gráfico de f em uma curva C que contém P . Determine uma equação para a reta tangente à curva C no ponto P .

Passo 1

a) Vamos lá, pra começar bem, vamos logo descobrir o valor de f - 1,0 ? Para isso, vamos usar:

s - 1 , s 2 = 2

E basta fazer s = 0 , temos que:

f - 1,0 = 2

Show! Beleza?

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Passo 2

Beleza, agora vamos para a reta tangente na curva γ ! Se a equação dessa curva é:

γ t = t , t 3 + 1 , t 2 - t

Então, colocando t = - 1 , temos o ponto P , veja só:

γ - 1 = - 1 , - 1 3 + 1 , - 1 2 - - 1 = - 1,0 , 2

E olha aí! De quebra já confirmamos que o que fizemos no passo anterior está realmente certo, f - 1,0 = 2 , que é a terceira coordenada do ponto P !

Passo 3

Beleza, agora que temos o valor que t deve assumir para termos o ponto P , vamos encontrar o vetor diretor da reta tangente?

Basta derivar a curva γ :

γ ' t = 1,3 t 2 , 2 t - 1

Colocando t = - 1 , o vetor derivada no ponto P fica:

γ ' - 1 = 1,3 - 1 2 , 2 - 1 - 1

γ ' - 1 = 1,3 , - 3

Passo 4

Agora que temos o ponto e o vetor diretor da reta, podemos jogar na equação paramétrica dela! Fica:

r t = P + t . v →

Substituindo o ponto e o vetor diretor,

r t = - 1,0 , 2 + t . 1,3 , - 3

E aí está a equação! Partiu letra b !

Passo 5

b) Tá... para encontrarmos o plano tangente, precisamos encontrar o vetor gradiente, e, para encontrar esse vetor, precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a x e y , show? Mas o enunciado deu apenas duas curvas que pertencem à nossa função, e não a função em si, certo? O que isso te lembra? Regra da cadeia!!!

Olha a equação dela aí:

δ f δ t = ∇ f x , y .   σ ' t

temos duas curvas, logo, podemos fazer duas regras da cadeia, e montar um sistema para encontrar as duas derivadas!

Passo 6

A curva γ t = t , t 3 + 1 , t 2 - t é uma outra forma de dizer que, dada a primeira coordenada, x , como t e a segunda, y , como t 3 + 1 , teremos o valor da função na terceira coordenada, t 2 - t . Ou seja:

f t , t 3 + 1 = t 2 - t

Então, aplicando a regra da cadeia, pela equação do passo anterior, teremos:

2 t - 1 = ∇ f x , y . γ ' t

Neste caso, γ ' envolve apenas as duas coordenadas da derivada de γ . Colocando essas derivadas, que já calculamos,

2 t - 1 = f x , f y 1,3 t 2

Fazendo, agora t = - 1 (pois estamos no ponto P ) e o produto escalar,

2 - 1 - 1 = f x + 3 - 1 2 f y

- 3 = f x + 3 f y

E aí está a primeira equação que envolve f x e f y no ponto P !

Passo 7

Agora vamos fazer exatamente a mesma coisa com a outra curva que foi dada! No caso, ela é:

f s - 1 , s 2 = 2

Como a própria equação informa, é uma curva de nível, no caso, nível 2 ! Assim, quando derivarmos em relação a s , vai dar 0 !

Aplicando a regra da cadeia:

0 = ∇ f x , y . σ ' s

Neste caso, σ ' s = 1,2 s , basta derivar cada coordenada de f s - 1 , s 2 ;)

0 = f x , f y 1,2 s

Como vimos no primeiro passo, para termos o ponto - 1,0 , devemos colocar s = 0 nesta parametrização. O mesmo vale agora!

0 = f x . 1 + f y . 2.0

E, daí, temos que:

f x = 0

Opa! Acabamos de encontrar o valor da primeira derivada em relação a x !

Passo 8

Jogando esse valor na equação do passo 6 , quando derivamos a curva γ t , teremos:

- 3 = 0 + 3 f y

f y = - 1

E, assim, o vetor gradiente fica:

∇ f - 1,0 = 0 , - 1

E é isso aí! Vetor gradiente encontrado, partiu encontrar o plano tangente!

Passo 9

Estamos aqui com um vetor gradiente que tem apenas duas coordenadas... Isso aconteceu pois a função f tem apenas duas variáveis. Nestes casos, temos que fazer:

z = f x , y

E, assim, montamos um função de três variáveis,

F x , y , z = f x , y - z

Beleza? E, assim, o vetor gradiente de F será:

∇ F x , y , z = f x , f y , - 1

Ou seja, sempre que fizermos que z = f x , y , teremos a terceira coordenada do gradiente igual a - 1 ! Enfim, acrescentando essa coordenada ao vetor encontrado no passo anterior, teremos:

∇ F - 1,0 , 2 = 0 , - 1 , - 1

E, agora que temos o gradiente com as devidas coordenadas e o ponto e tangência do plano, podemos jogar na fórmula do plano tangente!

x , y , z . n → = P . n →

x , y , z 0 , - 1 , - 1 = - 1,0 , 2 . 0 , - 1 , - 1

Fazendo os produtos escalares, teremos:

y + z = 2

Passo 10

c) Finalmente! Chegou na última! Vamos lá, firmeza que dá pra fechar sem muito esforço :D

Resumindo a história: tínhamos a superfície da função f , e, agora, interceptamos ela com a outra superfície do enunciado. Isso gerou uma curva que contém o ponto P e nossa missão é encontrar a reta tangente a ela nesse ponto!

Aí você pensa: Ahh essa é fácil! Basta encontrar a curva de interseção, parametrizar, derivar, substituir o ponto na derivada, e jogar na fórmula! Não, não quando se está na USP XD Esse processo que você acabou de ler sempre vai funcionar, é claro, mas, estatisticamente falando, você só vai usá-lo quando já te dão a curva parametrizada.

Quando você tem uma situação como essa nossa agora, é muito mais negócio fazer o seguinte: Essa curva é uma curva de interseção, logo, está simultaneamente em ambas as superfícies. Assim, para o ponto P em questão, temos que os vetores gradientes das superfícies são, ambos, normais à curva de interseção (pois são normais às superfícies).Logo, se fizermos o produto vetorial entre eles, o resultado será um vetor que é normal à ambos, e teremos o vetor tangente à curva, que é o vetor que é normal, ao mesmo tempo, a um vetor gradiente e ao outro!

Passo 11

Sei que ficou um tarolo nada convidativo para ser lido no passo anterior, desculpa XD Se não tiver ficado claro, aperta o botão vermelho no canto superior da tela e manda uma mensagem!

Enfim, aplicando o que acabamos de dizer, teremos que:

i ^ j ^ k ^ f x - 1,0 f y - 1,0 f z - 1,0 g x - 1,0 g y - 1,0 g z - 1,0   = v e t o r   d i r e t o r   d a   r e t a   t a n g e n t e  

O gradiente de f no ponto P = - 1,0 , 2 , já temos, vale 0 , - 1 , - 1 ! Agora falta encontrar o gradiente da outra superfície neste mesmo ponto!

Se ela é:

2 x z - 2 y + z 2 = 0

Então,

g x = 2 z

g y = - 2

g z = 2 x + 2 z

E, assim, o gradiente fica:

∇ g x , y , z = 2 z , - 2,2 x + 2 z

Que, para o ponto - 1,0 , 2 , vale:

∇ g x , y , z = 2.2 , - 2,2 . - 1 + 2.2 = 4 , - 2,2

Passo 12

Vamos lá, agora é pegar esses vetores e colocar no determinante do produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 - 1 - 1 4 - 2 2   = - 2 i ^ - 4 j ^ + 4 k ^ - 2 i ^ = - 4 , - 4,4

Show! Agora que temos o vetor diretor e o ponto de tangência, basta colocar na equação da reta!

r t = P + t . v →

r t = - 1,0 , 2 + t - 4 , - 4,4

E aí fechamos a questão :D

Resposta

a) r t = - 1,0 , 2 + t . 1,3 , - 3

b) ∇ f x , y = 0 , - 1 e o plano tangente é y + z = 2

c)   r t = - 1,0 , 2 + t - 4 , - 4,4

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