Exercícios Resolvidos de Plano tangente e Curva de Nível

Regra da Cadeia, Plano Tangente e Reta Normal

A função f : R 2 R é diferenciável e f - t , t = 2 t 3 - t ,   t R . Sabendo que o ponto 0,2 , 12 pertence ao plano tangente ao gráfico de f no ponto - 1,1 , 1 , determine f - 1,1 e dê a equação do plano tangente.

Passo 1

Queremos achar esse plano tangente, e, no meio do caminho, precisaremos de f , aí já matamos tudo de uma vez ;)

Vamos lá... Essa função f que foi dada é do tipo:

z = f x , y

Certo, uma função de duas variáveis. Sendo assim, podemos dizer que:

F x , y , z = f x , y - z

E, então, o vetor gradiente será do plano tangente será:

F x , y , z = f x , f y , - 1

Até agora tranquilo?

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Passo 2

Pegando o gradiente do passo anterior e o ponto de tangência, podemos escrever a equação geral para o plano como:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 . n = 0

Ou seja, o produto vetorial entre o vetor normal e um vetor qualquer do plano é 0 (pois são perpendiculares). Tomando o ponto x 0 , y 0 , z 0 = - 1,1 , 1 como o ponto de tangência, temos:

x + 1 , y - 1 , z - 1 . f x , f y , - 1 = 0

Naturalmente, esse f x e f y são as derivadas no ponto que estamos tratando, - 1,1 para as duas primeiras variáveis e - 1,1 , 1   para F .

Passo 3

Pegando a equação para o plano que acabamos de encontrar, podemos dizer que o ponto 0,2 , 12 pertence a ele colocando-o na equação:

0 + 1,2 - 1,12 - 1 . f x , f y , - 1 = 0

f x + f y = 11

Ok, chegamos numa relação entre as derivadas parciais que formam o vetor gradiente!

Passo 4

Agora chegou a hora de usar a equação f - t , t = 2 t 3 - t que nos foi dada. Ela é uma parametrização para f por uma curva γ t = - t , t , certo? Então, pela regra da cadeia, temos que:

f t = f x , y . γ ' t

Como γ ' t = - 1,1 , e f t = 6 t 2 - 1 , temos:

6 t 2 - 1 = f x , y . - 1,1

Como queremos o gradiente para o ponto - 1,1 , precisamos colocar t = - 1 (para ter f - 1,1 ). Assim, teremos:

6.1 2 - 1 = f x , y . - 1,1

5 = - f x + f y

E chegamos em outra relação entre f x e f y !

Passo 5

Agora que temos duas relações que envolvem as duas derivadas parciais no ponto - 1,1 , basta resolver o sistema:

f x + f y = 11 - f x + f y = 5

somando as duas, temos que

2 f y = 16

f y = 8

Substituindo esse valor na primeira, temos:

f x = 11 - 8 = 3

E, portanto, o vetor gradiente é:

f - 1,1 = 3,8

E, só pra não criar um passo a mais pra colocar esse resultado na equação do plano, temos:

x + 1 , y - 1 , z - 1 . 3,8 , - 1 = 0

3 x + 1 + 8 y - 1 + 1 = z

E é isso aí :D

Resposta

3 x + 1 + 8 y - 1 + 1 = z

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