Exercícios Resolvidos de Plano tangente e Curva de Nível

USP, Cálculo 2, P2 - 2016, Questão 3

Sejam f   : R 2 R 2 uma função diferenciável e a curva γ   : R R 3 definida por

γ t = t 3 + 1 , - t , t 6 + 2 t 3 - 2 t 2 + 1

Suponha que a imagem de γ está contida no gráfico de f e que o ponto ( 3,0 , 10 ) pertence ao plano tangente ao gráfico de f no ponto 2 , - 1 , f 2 , - 1 . Determine uma equação desse plano.

Passo 1

Vamos lá... Essa função f que foi dada é do tipo:

z = f x , y

Certo, uma função de duas variáveis. Sendo assim, podemos dizer que:

F x , y , z = f x , y - z

E, então, o vetor gradiente será do plano tangente será:

F x , y , z = f x , f y , - 1

Até agora tranquilo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pegando o gradiente do passo anterior e o ponto de tangência, podemos escrever a equação geral para o plano como:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 . n = 0

Ou seja, o produto vetorial entre o vetor normal e um vetor qualquer do plano é 0 (pois são perpendiculares). Tomando o ponto x 0 , y 0 , z 0 = 2 , - 1 , f 2 , - 1 como o ponto de tangência, temos:

x - 2 , y + 1 , z - f 2 , - 1 . f x , f y , - 1 = 0

Naturalmente, esse f x e f y são as derivadas no ponto que estamos tratando, 2 , - 1 para as duas primeiras variáveis e 2 , - 1 , f 2 , - 1   para F .

Passo 3

Pegando a equação para o plano que acabamos de encontrar, podemos dizer que o ponto 3,0 , 10 pertence a ele colocando-o na equação:

3 - 2 , 0 + 1 , 10 - f 2 , - 1 . f x , f y , - 1 = 0

f x + f y = 10 - f 2 , - 1

Ok, chegamos numa relação entre as derivadas parciais que formam o vetor gradiente!

Passo 4

Agora chegou a hora de usar a equação da curva que nos foi dada. Como ela está contida no gráfico de f , podemos endendê-la como uma parametrização para f por uma curva γ t = t 3 + 1 , - t , t 6 + 2 t 3 - 2 t 2 + 1 . Além disso, já que

f x , y = z

Então,

f x ( t ) , y ( t ) = z ( t )

Assim,

f t 3 + 1 , - t = t 6 + 2 t 3 - 2 t 2 + 1

Usando a regra da cadeia, temos:

d z d t = f x d x d t + f y d y d t

6 t 5 + 6 t 2 - 4 t = f x ( 3 t 2 ) + f y ( - 1 )

E chegamos em outra relação entre f x e f y !

Para t = 1 , temos que

x 1 = 1 3 + 1 = 2

y 1 = - 1

Logo

f 2 , - 1 = 1 6 + 2 . 1 3 - 2 . 1 2 + 1 = 2

Substituindo nessa relação entre f x e f y que encontramos, ficamos com:

6 . 1 5 + 6 . 1 2 - 4 . 1 = f x ( 3 . 1 2 ) + f y ( - 1 )

E chegamos em outra relação entre f x e f y !

Passo 5

Agora que temos duas relações que envolvem as duas derivadas parciais no ponto - 1,1 , basta resolver o sistema:

f x + f y = 10 - f ( 2 , - 1 ) 6 t 5 + 6 t 2 - 4 t = f x ( 3 t 2 ) + f y ( - 1 )

Para t = 1 , temos que

x 1 = 1 3 + 1 = 2

y 1 = - 1

Logo

f 2 , - 1 = 1 6 + 2 . 1 3 - 2 . 1 2 + 1 = 2

Substituindo isso no sistema:

f x + f y = 10 - 2 6 . 1 5 + 6 . 1 2 - 4.1 = f x ( 3.1 2 ) + f y ( - 1 )

Ou seja,

f x + f y = 8 3 f x - f y = 8

somando as duas, temos que

4 f x = 16

f x = 4

Substituindo esse valor na primeira, temos:

4 + f y = 8

f y = 4

E, portanto, o vetor gradiente é:

f 2 , - 1 = 4,4

Passo 6

Finalmente, a equação do plano tangente fica:

x - 2 , y + 1 , z - f 2 , - 1 . f x , f y , - 1 = 0

x - 2 , y + 1 , z - 2 . 4 , 4 , - 1 = 0

4 x - 2 + 4 y + 1 - ( z - 2 ) = 0

z = 4 x - 2 + 4 y + 1 + 2

E é isso aí :D

Resposta

z = 4 x - 2 + 4 y + 1 + 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas