Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x,y)

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Enunciado

Calcule os polinômios de Taylor de ordem um e dois da função

f x , y = x 1 + y

Em

p → = ( 0,0 )

Passo 1

A primeira coisa a fazer é achar as derivadas até a ordem 2 dessa função f x , y

∂ f ∂ x = 1 1 + y

∂ f ∂ y = - x 1 + y 2

∂ 2 f ∂ x 2 = 0

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 x 1 + y 3

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 1 1 + y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 1 + y 2

É normal essas últimas duas darem iguais, mas precisamos calcular os dois para não esquecer no final.

Passo 2

Temos agora que achar essas derivadas e a função no ponto que ele deu

f 0,0 = 0 1 + 0 = 0

∂ f ∂ x 0,0 = 1 1 + 0 = 1

∂ f ∂ y 0,0 = - 0 1 + 0 2 = 0

∂ 2 f ∂ x 2 0,0 = 0

∂ 2 f ∂ y 2 0,0 = 2.0 1 + 0 3 = 0

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = - 1 1 + 0 2 = - 1

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = - 1 1 + 0 2 = - 1

Passo 3

Agora achamos cada termo do polinômio, lembrando que

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

OS termos vão ser

f 0,0 = 0

∂ f ∂ x 0,0 x - 0 1 1 ! = 1 x - 0 1 = x

∂ f ∂ y 0,0 y - 0 1 1 ! = 0 y - 1 1 = 0

∂ 2 f ∂ x 2 0,0 x - 0 2 2 ! = 0 x - 0 2 2 = 0

∂ 2 f ∂ y 2 0,0 y - 0 2 2 ! = 0 y - 0 2 2 = 0

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 x - 0 1 y - 0 1 2 ! = - 1 x - 0 y - 0 2 = - x y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 x - 0 1 y - 0 1 2 ! = - 1 x - 0 y - 0 2 = - x y 2

Passo 4

Assim, o polinômio de grau 1 vai ser

P 1 x , y = 0 + x + 0 = x

E o polinômio de grau 2 vai ser:

P 2 x , y = 0 + x + 0 + 0 + 0 - x y 2 - x y 2 = x - x y

Resposta

P 1 x , y = x

P 2 x , y = x - x y

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