Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x,y)

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de Cálculo Volume 2, 5ª ed., Rio de Janeiro: LTC 2008, pp. 302 ex 1b.

Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em torno do ponto x 0 , y 0 dado.

f x , y = x 3 + y 3 + x 2 + 4 y           e           x 0 , y 0 = 1,1

Passo 1

Para acharmos o polinômio de Taylor a primeira coisa é achar as derivadas de ordem 1 da minha função

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 2 x

∂ f ∂ y = 3 y 2 + 4

Agora temos que achar essas derivadas no ponto

∂ f ∂ x 1,1 = 3 1 2 + 2 1 = 5

∂ f ∂ y 1,1 = 3 1 2 + 4 = 7

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Passo 2

Agora vamos achar os termos do polinômio, lembrando que

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

Então os termos vão ser

f 1,1 = 1 3 + 1 3 + 1 2 + 4.1 = 7

∂ f ∂ x 1,1 x - 1 1 1 ! = 5 x - 1 1 = 5 x - 5

∂ f ∂ y 1,1 y - 1 1 1 ! = 7 y - 1 1 = 7 y - 7

Passo 3

O polinômio vai ser

P 1 x , y = 7 + 5 x - 5 + 7 y - 7 = 5 x + 7 y - 5

Resposta

P 1 x , y = 5 x + 7 y - 5

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