Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x,y)

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de Cálculo Volume 2, 5ª ed., Rio de Janeiro: LTC 2008, pp. 305 ex

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto x 0 , y 0 dado.

f x , y = x sen ⁡ y   e   x 0 , y 0 = 0,0

Passo 1

A primeira coisa a fazer é achar as derivadas de ordem 2 dessa função f x , y

∂ f ∂ x = sen ⁡ y

∂ f ∂ y = x cos ⁡ y

∂ 2 f ∂ x 2 = 0

∂ 2 f ∂ y 2 = - x sen ⁡ y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = cos ⁡ y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = cos ⁡ y

É normal essas últimas duas darem iguais, mas precisamos calcular os dois para não esquecer no final.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos agora que achar essas derivadas e a função no ponto que ele deu

f 0,0 = 0 . sen ⁡ 0 = 0

∂ f ∂ x 0,0 = sen ⁡ 0 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = 0 cos ⁡ 0 = 0

∂ 2 f ∂ x 2 0,0 = 0

∂ 2 f ∂ y 2 0,0 = - 0 sen ⁡ 0 = 0

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = cos ⁡ 0 = 1

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = cos ⁡ 0 = 1

Passo 3

Agora achamos cada termo do polinômio, lembrando que

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

OS termos vão ser

f 0,0 = 0 . sen ⁡ 0 = 0

∂ f ∂ x 0,0 x - 0 1 1 ! = 0

∂ f ∂ y 0,0 y - 0 1 1 ! = 0

∂ 2 f ∂ x 2 0,0 x - 0 2 2 ! = 0

∂ 2 f ∂ y 2 0,0 y - 0 2 2 ! = 0

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 x - 0 1 y - 0 1 2 ! = x y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 x - 0 1 y - 0 1 2 ! = x y 2

Passo 4

O polinômio vai ser

P 2 x , y = x y 2 + x y 2 = x y

Resposta

P 2 x , y = x y

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas