Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x,y)

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Enunciado

Sejam

f x , y = e x + 5 y

E

P 1 ( x , y )

O polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de 0,0 .

  1. Mostre que para todo ( x , y ) com x + 5 y < 1 ,
  2. e x + 5 y - P 1 x , y < 3 2 x + 5 y 2

  3. Determine e 0,06 com precisão até a segunda casa decimal. Justifique.

Passo 1

a )

Se P 1 é o polinômio de Taylor de ordem 1 da função f , então essa diferença

e x + 5 y - P 1 x , y

Representa o erro que cometemos ao aproximar a função pelo polinômio. Assim

e x + 5 y - P 1 x , y ≤ E x , y

Passo 2

A fórmula do erro é

E x , y ≤ 1 2 f x x x 2 + 2 f x y x y + f y y y 2

Vamos então calcular essas derivadas pra ver se essa expressão resulta igual a expressão que tá no enunciado.

f x = e x + 5 y ⇒ f x x = e x + 5 y

f y = 5 e x + 5 y ⇒ f y y = 25 e x + 5 y

f x y = 5 e x + 5 y

Assim

E x , y ≤ 1 2 e x + 5 y x 2 + 10 e x + 5 y x y + 25 e x + 5 y y 2

Colocando e x + 5 y em evidencia:

E x , y ≤ e x + 5 y 2 x 2 + 10 x y + 25 y 2

E isso que tá entre colchetes é um produto notável, então

E x , y ≤ e x + 5 y 2 x + 5 y 2

Passo 3

Beleza, agora, o enunciado nos diz que x + 5 y < 1 , então

E x , y ≤ e 2 x + 5 y 2 ≤ 3 2 x + 5 y 2

Conforme diz o enunciado.

Passo 4

b )

Aqui, estamos querendo calcular o valor de e 0,06 .

Para isso vamos calcular o polinimio de Taylor de grau 1 em torno de zero e depois a gente substitui x , y tal que x + 5 y = 0,06 , isso porque queremos

f x , y = e x + 5 y = e 0,06

Beleza?

Para acharmos o polinômio de Taylor a primeira coisa é achar as derivadas de ordem 1 da minha função e isso já fizemos na letra a :

f x = e x + 5 y

f y = 5 e x + 5 y

Agora temos que achar essas derivadas no ponto

f x 0,0 = e 0 + 5 . 0 = 1

f y 0,0 = 5 e 0 + 5.0 = 5

Passo 5

Agora vamos achar os termos do polinômio, lembrando que

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

Então os termos vão ser

f 0,0 = e 0 + 5.0 = 1

∂ f ∂ x 0,0 x - 0 1 1 ! = 1 x 1 = x

∂ f ∂ y 0,0 y - 0 1 1 ! = 5 y 1 = 5 y

O polinômio vai ser

P 1 x , y = 1 + x + 5 y

Passo 6

Agora queremos saber o valor do polinimio em x , y tal que x + 5 y = 0,06 .

Para isso,podemos usar x = y = 0,01 .

Assim, calculando o polinimio nesse ponto:

P 1 0,01 ; 0,01 = 1 + 0,01 + 5 . 0,01 = 1,06

Então

e 0,06 ≈ 1,06

Resposta

b )   e 0,06 ≈ 1,06  

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