Exercícios Resolvidos de Potência

Ver Teoria

Enunciado

Um piano de massa m = 1000   k g está no primeiro andar de um prédio, a uma altura H = 3   m . Pretende-se descer o piano suavemente para o térreo sobre um plano inclinado de comprimento 5   m , conforme a figura ao lado. Uma corda realiza uma tração T → sobre o piano. Considere que o piano desce com velocidade constante e entra em repouso ao chegar no solo, e que g = 10   m / s 2 .

(a) Desconsiderando o atrito com o solo, determine o trabalho total realizado pela tração T .

(b) Desconsiderando o atrito com o solo, determine a potência que deve ser aplicada na corda para descer o piano com uma velocidade v = 1   m / s .

(c) Sabe-se que o coeficiente de atrito cinético entre o piano e o solo é μ c = 0,5 . Considerando o atrito com o solo, determine a potência que deve ser aplicada na corda para descer o piano com uma velocidade v = 1   m / s .

Passo 1

Para resolver essa questão, vai ser bem útil analisar as forças atuando sobre o piano. Então, vamos começar com o Diagrama do Corpo Livre.

Como, inicialmente, não há atrito, temos apenas uma força peso P → para baixo e uma força normal N → perpendicular ao plano, além da força de tração T → :

Para facilitar a nossa vida, vamos decompor essa força peso P → nas componentes paralela e perpendicular à rampa:

Qual a ideia?

Se o piano desce com velocidade constante, é porque essa força de tração T → está equilibrando a componente da força peso que puxa o piano para baixo da rampa.

Ou seja, o piano está em equilíbrio e não vai ter nenhuma aceleração.

Vamos aos itens.

Passo 2

Na letra (a), queremos o trabalho realizado pela força de tração T → ao longo desse deslocamento.

O trabalho da força T → vai ser dado pelo produto escalar entre esse vetor e o vetor deslocamento d → :

W T = T → ∙ d →

Como a força de tração é constante ao longo do deslocamento, podemos simplesmente calcular esse produto escalar com:

W = T d c o s ϕ

Onde ϕ é o ângulo entre os dois vetores.

O vetor deslocamento vai ser na direção da rampa para baixo d → , enquanto a tração está na direção da rampa para cima:

Como os vetores estão em sentidos opostos, o ângulo entre eles é:

ϕ = 180 °

Assim, o trabalho da força será negativo:

W T = T d c o s 180 °

W T = T d - 1

W T = - T d

Sabemos que o valor do deslocamento foi de 5   m , porém, quanto vale essa força de tração T → ?

Passo 3

Podemos encontrar a força de tração através do equilíbrio de forças do piano:

T = P s e n θ

T = m g s e n θ

Sabemos a massa m e a gravidade g , já esse s e n θ podemos encontrar a partir da geometria da rampa:

s e n θ = 3 5

Substituindo os valores na expressão para T , temos:

T = m g s e n θ

T = 1000 10 3 5

T = 6000   N

Passo 4

Agora, que encontramos o valor de T , o trabalho dessa força será:

W T = - T d

W T = - 6000 5

W T = - 30000   J

Ou então:

W T = - 3 × 10 4   J

Passo 5

Na letra (b), queremos a potência aplicada na corda, sabendo que a velocidade do piano é de 1   m / s .

A potência diz em quanto tempo está sendo realizado um certo trabalho, sendo trabalho uma forma de energia.

Então, a potência vai ser nada mais, nada menos que:

P = W T ∆ t

Acabamos de calcular o trabalho W T , mas ainda falta saber quanto tempo durou o deslocamento ∆ t .

Passo 6

Como sabemos a velocidade v = 1   m / s e a distância percorrida d = 5   m , basta jogarmos na fórmula:

v = ∆ S ∆ t

∆ t = v d

∆ t = 1 5

∆ t = 5   s

Passo 7

Pronto, agora, conseguimos calcular a potênica:

P = W T ∆ t

P = - 3 × 10 4 5

P = - 6000   W

P = - 6 × 10 3   W

Passo 8

Na letra (c), agora, vamos considerar uma força de atrito cinética com coeficiente μ c = 0,5 e queremos a nova potência aplicada na corda para descer o piano com a mesma velocidade de 1   m / s .

Como fica a nova configuração de forças?

Como a força de atrito atua contrária ao deslizamento do piano, teremos:

Então, a nova força de tração T → necessária para equilibrar o piano e não deixar ele descer a rampa com uma aceleração é:

T + F a t = P s e n θ

T = P s e n θ - F a t

T = m g s e n θ - μ c N

Já sabemos temos todos esses dados, exceto a força normal N .

Passo 9

Para achar a força normal, basta fazer o equilíbrio de forças na direção perpendicular à rampa:

N = P c o s θ

N = m g c o s θ

Substituindo isso na expressão da força de tração:

T = m g s e n θ - μ c m g c o s θ

T = m g s e n θ - μ c c o s θ

Passo 10

Então, o trabalho será:

W T = - T d

W T = - m g d s e n θ - μ c c o s θ

Assim, podemos calcular a potência:

P = W T ∆ t = - m g d s e n θ - μ c c o s θ ∆ t

Como a velocidade é a mesma 1   m / s , já vimos no Passo 6, que o piano leva 5   s nesse deslocamento.

Além disso, podemos tirar tanto o seno quanto o cosseno de θ :

s e n θ = 3 5 = 0,6

c o s θ = 4 5 = 0,8

Assim, a potência será:

P = - 1000 10 5 0,6 - 0,5 × 0,8 5

Fazendo essa conta, chegamos em:

P = - 2000   W

P = - 2 × 10 3   W

Resposta

(a)

W T = - 3 × 10 4   J

(b)

P = - 6 × 10 3   W

(c)

P = - 2 × 10 3   W

Exercícios de Livros Relacionados

63. Sobre o solo, um motor elétrico de 2,0h p bombeia água de um poço cuja superfície se encontra 10 m abaixo do chão. A densidade da água é de 1,0k g por litro. Quantos litros de água o motor bombeia
Um esquiador é puxado por uma corda para o alto de uma encosta que faz um ângulo de 12 ° com a horizontal. A corda se move paralelamente à encosta com uma velocidade constante de 1,0m / s . A força da
Uma força F → = 3,00N i ^ + 7,00N j ^ + 7,00N k ^ age sobre um objeto de 2,00k g que se move de uma posição inicial d → i = 3,00m i ^ - 2,00m j ^ + 5,00m k ^ para uma posição final d → f = - 5,00m i ^
Um velocista que pesa 670N corre os primeiros 7,0m de uma prova em 1,6s , partindo do repouso e acelerando uniformemente . Qual é (a) a velocidade e (b) a energia cinética do velocista ao final dos 1,
Dê um exemplo específico de uma situação em que W e x t →K , enquanto Δ U = 0 e Δ E t e r m = 0 . W e x t →E t e r m , enquanto Δ K = 0 e Δ U = 0 .