Exercícios Resolvidos de Princípio de Stevin

UFRJ, Física 2, P1 - 2019.1, Questão MO7

O recipiente mostrado na figura abaixo contém um líquido de densidade ρ . Seu lado direito é fechado por um pistão móvel de massa M e seção reta S . Seu lado esquerdo, de seção reta S , não está fechado e um cilindro de massa m e volume V flutua sobre o líquido. Seja H e H as alturas do líquido nos lados direito e esquerdo, respectivamente, relativas a um mesmo nível horizontal, como indicado na figura. A constante gravitacional é g . A altura H é dada por:

(a) H   +   M / ( ρ   S )   + ρ   V   g   S / S

(b) H   +   M / ( ρ   S )   +   V / S

(c) H   +   M / ( ρ   S )   -   m / ( ρ   S )

(d) H   +   M / ( ρ   S )  

Passo 1

Vamos primeiro falar do cilindro de massa m .

De início, vou te falar uma coisa. Ele não influencia em nada do que queremos calcular!!!COMO ASSIM?!?!!?! É.. meua migo... o IF é brabo!!

Vamos entender o porquê dele não influenciar no que queremos calcular.Imagine a situação onde não tem nem cilindro e nem pistão em nosso recipiente. O que a gente veria seria o seguinte:

Nessa situação, ambos os lados do nosso recipiente estaria a mesma altura da base. Isso é consequência da Lei de Stevin. Só lembre de não confundir a altura h com a altura H que o exercício fala!!!

Agora, imagine que seja colocado o cilindro no tubo esquerdo. O que acontece é que os dois tubos (direito e esquerdo) aumentarão seus níveis (a altura h ), mas ainda estarão a mesma distância da base (a altura h ' ). Veja a figura.

Coloquei em verde o quanto subiu do fluido devido ao cilindro. Novamente, não confunda a altura h ' com a altura H ' que o enunciado fala.

Por que a mesma altura h ' ? Isso acontece porque o cilindro faz o fluido ocupar um volume menor, forçando a subir o nível. Como ambos os lados do recipiente estão expostos ao ar, então na superfície do fluido (tanto lado direito quanto esquerdo) a pressão será igual a pressão atmosférica. Por isso a mesma altura h ' .

Assim, a conclusão que chegamos é que colocar o cilindro só aumenta o nível do fluido!Beleza! Vamos guardar essa informação. Agora imagine que o pistão seja colocado do lado direito do recipiente SEM O CILINDRO do lado esquerdo. O que veremos é

Assim, vai existir uma diferença entre as alturas, pois as pressões serão diferentes entre os lados (o pistão veda o lado direito e a força peso do objeto de massa M empurra o pistão para baixo). Vamos chamar de D a seguinte diferença

D = L ' - L

Agora se colocarmos o cilindro do lado direito, sabemos que ele apenas aumentará o nível do fluido igualmente em ambos os lados do recipiente. Assim, o que veremos é

Nesta figura, teremos H e H ' agora SÃO as alturas que o enunciado fala. Nesta situação, o cilindro aumenta ambos os lado do recipiente igualmente. Assim, a diferença H ' - H será igual a diferença L ' - L , isto é,

H ' - H = D = L ' - L Agora podemos traçar nossa estratégia. Primeiro, vamos calcular L ' e L . Depois, utilizaremos a equação anterior para determinar H ' . Vamos então para o nosso próximo passo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular L ' - L . Para tanto, considere a figura abaixo.

Sabemos que a força peso do objeto de massa M empurra o pistão para baixo. Assim, no ponto D da figura anterior, temos que a pressão p D será

p D = p 0 + p M + ρ × g × L

sendo p 0 a pressão atmosférica, p M a pressão devido à força peso do objeto de massa M e ρ × g × L a pressão devido a coluna de fluido de altura L .Como a seção reta tem área S , então p M é dado por

p M = P S = M g S

Deste modo, temos que

p D = p 0 + M g S + ρ × g × L

Já no lado esquerdo, temos que a pressão no ponto E é somente devido à atmosfera e a coluna de fluido de altura L ' . Assim,

p E = p 0 + ρ × g × L '

Assim, como os pontos E e D estão a uma mesma altura da base, então p E = p D . Logo,

p 0 + ρ × g × L ' = p 0 + M g S + ρ × g × L  

ρ × g × L ' = M g S + ρ × g × L  

L ' = M g ρ × g × S + ρ × g × L ρ × g  

L ' = M ρ × S + L

L ' - L = M ρ × S

Agora, que calculamos L ' - L , no próximo passo vamos resolver nosso problema.

Passo 3

Mostramos no passo anterior que

L ' - L = M ρ × S

Argumentamos também que

H ' - H = L ' - L

Desta forma,

H ' - H = L ' - L = M ρ × S Portanto,

H ' = H + M ρ × S

Passo 4

Analisando todas as alternativas, vemos a que alternativa correta é a letra ( d ) .

Resposta

L e t r a   ( d ) .

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