Exercícios Resolvidos de Problemas de Autovalor

Quando uma carga constante Equation é aplicada a uma longa coluna delgada de seção transversa uniforme e comprimento Equation , a coordenada Equation de um ponto de sua curva de deflexão é dada por

Equation

Onde as constantes Equation são, respectivamente, o módulo de Young e o momento de inercia da seção transversa. Veja a figura. Se a coluna é impedida de rotar em seu topo e em sua base, as condições de contorno são Equation e Equation .

a) Mostre que esse problema de valores de contorno indica que a coluna não verga, a menos que a carga Equation tenha um dos valores Equation Essas diferentes cargas são chamadas de cargas críticas.

b) Mostre que a curva de deflexão correspondente à mais baixa carga crítica Equation , chamada carga de Euler, é Equation Então Equation é chamado primeiro modo de deformação.

Passo 1

Vamos pensar um pouco no que a gente vai fazer antes de sair cuspindo matemática. Quando a gente resolve um problema de valor de contorno nós procuramos soluções não triviais. No nosso problema, se resolvermos como um problema de valor de contorno nós vamos encontrar os valores de Equation que fazem não ser uma solução trivial, ou seja, os valores onde a barra enverga.

Vamos manipular a equação e escrever como um problema de valor de contorno.

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Agora temos que resolver o sistema pra mostrar o que ele tá pedindo. Vamos montar a equação característica.

Equation

Equation

Passo 3

Caso Equation

Quando temos uma raiz dupla nós já sabemos que a solução vai ter essa cara.

Equation

Como Equation

Equation

Passo 4

Vamos usar os valores iniciais para descobrir se esse caso nos dá soluções não triviais.

Equation

Equation

Equation

Como Equation

Equation

Logo Equation . Então esse caso só nos deu uma solução trivial

Passo 5

Caso Equation

Teremos duas raízes distintas e reais iguais a.

Equation

E a solução vai ter a seguinte cara.

Equation

Equation

Passo 6

Vamos usar os valores iniciais para descobrir se esse caso nos dá soluções não triviais.

Equation

Equation

Equation

Equation

Para que o termo dentro do parênteses fosse igual a zero teríamos que ter Equation , o que é um absurdo dada a nossa condição de Equation . Sendo assim temos.

Equation

O que nos dá outra solução trivial.

Passo 7

Caso Equation

Nesse caso iremos ter duas raízes complexas que serão

Equation

Então a nossa solução vai ter a seguinte cara.

Equation

Passo 8

Vamos usar os valores iniciais para descobrir se esse caso nos dá soluções não triviais.

Equation

Equation

Equation

Disso ou nós teremos Equation , que nos dá outra solução trivial, ou Equation . Como nós não queremos uma solução trivial vamos testar o segundo caso. Como sabemos das propriedades do seno.

Equation

Logo teremos como valores de Equation

Equation

Que é exatamente o que queríamos mostrar na letra a.

Passo 9

b) Nesse item ele quer que a gente mostre a solução da equação para Equation . A gente já sabe que.

Equation

Manipulando um pouco nós teremos.

Equation

A gente já sabe dos itens anteriores que a nossa solução tem a seguinte cara.

Equation

Renomeando a nossa constante Equation e substituindo Equation teremos.

Equation

Que é a solução do item b

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