Exercícios Resolvidos de Problemas de Autovalor

Ver Teoria

Enunciado

(I)Encontre todos os valores de λ ∈ R e todas as soluções associadas, para os quais existem soluções não-nulas do problema de valor de contorno

y ' ' + λ y ' + 4 y = 0 ,     y 0 = y 2 = 0

(ii) Para quais valores de L > 0 , não existe nenhuma solução não-trivial do problema de contorno

y ' ' + λ y ' + 4 y = 0 ,     y 0 = y L = 0

Para qualquer valor de λ ∈ R

Passo 1

(i)

Tentaremos uma solução do tipo y x = e r x . Então, necessariamente, teremos a equação característica r 2 + λ r + 4 = 0 e

r = - λ ± λ 2 - 16 2

A forma da solução depende do sinal do discriminante Δ = λ 2 - 16

Passo 2

Vamos, agora, analisar todas as possibilidades. Primeiramente, veremos:

Se λ 2 - 16 = u 2 > 0 (para u > 0 ). Para esse caso, temos raízes reais distintas, r 1 e   r 2 com a solução geral no formato y x = A e r 1 x + B e r 2 x . Usando a condição y 0 = 0 na solução geral, temos que:

A + B = 0   ↔ B = - A

Com essa relação, temos agora y x = A ( e r 1 x - e e 2 x ) . Com a segunda condição, y 2 = 0 , temos que:

A e r 1 x - e r 2 x = 0

Como r 1 ≠ r 2 , a expressão e r 1 x - e r 2 x não tem como ser zero. Logo, temos que A = 0 . Como a única solução, nesse caso, é trivial, vamos para a análise da segunda possibilidade.

Passo 3

A segunda possibilidade é:

Se λ 2 - 16 = 0 , as raízes da equação indicial são iguais e a solução tem forma

y x = e - λ x 2 ( A x + B )

Se y 0 = 0 , então B = 0 . Se y 2 = 0 , então e - λ . 2 A = 0 e A = 0 . Temos apenas solução trivial nesse caso.

Passo 4

A terceira possibilidade é:

Se λ 2 - 16 = - u 2 < 0 , as raízes da equação indicial são complexas e distintas. Isso acontece quando λ = 16 - u 2   ∈ ( - 4,4 ) e r = - λ 2 ± i μ 2 . A solução geral da equação diferencial é:

y x = A e - λ x 2 cos ⁡ μ x 2 + B   e - λ x 2 s e n μ x 2

Então, a condição y 0 = 0 força A = 0 , enquanto a condição y 2 = 0 B e - λ s e n μ = 0 . Para obter uma solução não-trivial, devemos ter μ = n π para algum n = 1,2 , … Isso quer dizer que, para λ = ± 16 - n π 2 , o problema de valor de contorno admite a solução:

y x = e ± 1 2 16 - n π 2 x s e n n π x 2

Porém, essa raiz quadrada é um número real, somente se, 16 - n π 2 ≥ 0 , ou seja, n π ≤ 4 . Então, somente para n = 1 , temos λ = ±   16 - π 2   com soluções

y + x = e - x 2 16 - π 2 s e n π x 2 ,           y - x = e x 2 16 - π 2 s e n ( π x 2 ) ,

Passo 5

(ii)

Para algum outro valor L > 0 , no intervalo [ 0 , L ] , temos uma solução y com y 0 = y L = 0 se:

y x = e - λ x 2 s e n μ x 2 ,                           - μ 2 = λ 2 - 16

y L = e - λ L 2 s e n μ L 2 ,                                                                                

Logo,

μ L 2 = n π ,             μ = 2 π n L

De novo, isso vem com a restrição de que:

0 ≤ λ 2 = 16 - μ 2 = 16 - 2 π n L 2 ≤ 16 - 2 π L 2

Isso é impossível, ou não terá nenhuma solução não-trivial, se:

16 - 2 π L 2 < 0 ,

Ou seja,

L < π 2

Isso é dizer, nenhuma solução não-trivial de y ' ' + λ y ' + 4 y = 0 , para qualquer λ ∈ R , satisfaz y 0 = y L = 0 .

Resposta

(i)

Somente para n = 1 ,

λ = ±   16 - π 2  

y + x = e - x 2 16 - π 2 s e n π x 2 ,           y - x = e x 2 16 - π 2 s e n ( π x 2 )

(ii)

Nenhuma solução não-trivial de y ' ' + λ y ' + 4 y = 0 , para qualquer λ ∈ R , satisfaz y 0 = y L = 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo - y ' ' + x 2 y = λ y , y ' 0 - y 0 = 0 , y ' 1 + y 1 = 0
Resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução..
Considere o problema em que α é uma constante dada. Se α1, mostre que existe exatamente um autovalor negativo e que esse autovalor diminui quando a aumenta.
Considere o problema em que α é uma constante dada. Mostre que λ = 0 é um autovalor, se e somente se α = 1.
Determine se o problema de valores de contorno dado é autoadjunto.