Exercícios Resolvidos de Problemas de Autovalor

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Enunciado

Determine todos os valores de λ para os quais o seguinte problema de EDO com condições de contorno tem ao menos uma solução diferente de zero.

u x x = λ u u 0 = 0 u x 2 = 0

Passo 1

Bem, temos aqui uma EDO e para começar a resolver vamos encontrar a equação característica relacionada: u x x = λ u

r 2 = λ

Portanto, teremos que: r = ± λ

Olha só, o valor de r e, portanto, nossa solução, depende do sinal de λ . Vamos então analisar a forma da solução pra cada sinal de λ .

Passo 2

Começamos com o caso em que λ > 0 . Nesse caso que o valor dentro da raiz de r será positivo, logo teremos raízes reais e distintas e, por conta disso, a solução na forma de senos e cossenos hiperbólicos:

u x = A cosh ⁡ λ x + B senh ⁡ λ x

Agora precisamos determinar as constantes A e B para esse caso. Para isso, usamos as condições de contorno. Como u 0 = 0 . Temos: u 0 = A cosh ⁡ 0 + B senh ⁡ 0 = A = 0

Temos mais uma condição, mas para aplica-la, precisamos encontrar a derivada.

Sem o sinal de menos que estamos acostumados para a derivada cosseno convencional. Já considerando A = 0 , temos: u ' x = B λ cosh ⁡ λ x

Assim, temos: u ' 2 = B λ cosh ⁡ 2 λ = 0

Precisamos aqui que B = 0 , λ = 0 ou cosh ⁡ 2 λ = 0 . Por hipótese, como estamos considerando λ > 0 , segue que: λ ≠ 0

Além disso, por definição, temos: cosh ⁡ 2 λ = e 2 λ + e - 2 λ 2 ≠ 0

Logo, percebemos que resta some: B = 0

Isso significa que teremos apenas: u x = 0

Para λ > 0 . Esse valor não nos interessa então.

Passo 3

Assim, passamos para o caso em que λ = 0 . Neste caso, r = 0 , logo teremos duas raízes nulas e iguais e teremos, portanto, solução na forma de uma reta: u x = A x + B

Sendo: u x = u ' x = A

Assim, aplicando as condições de contorno, temos: u 0 = B = 0

u ' 2 = A = 0

Logo, novamente temos: u x = 0

Para λ = 0 . Como é solução trivial, não interessa para gente também.

Passo 4

Nossas esperanças pairam sobre λ < 0 . Vamos ver esse caso então. Quando λ < 0 o que está dentro da raiz de r é um número negativo, portanto a solução é da forma: r = ± λ = ± i - λ

O sinal troca justamente para que possamos extrair o i = - 1 . Legal, assim teremos solução na forma de senos e cossenos: u x = A cos ⁡ - λ x + B sen ⁡ - λ x

u ' x = - A - λ sen ⁡ - λ x + B - λ cos ⁡ - λ x

Assim, teremos para as condições de contorno associadas: u 0 = A cos ⁡ 0 + B sen ⁡ 0 = A = 0

Agora, já substituindo o valor de A :

u ' 2 = B - λ cos ⁡ 2 - λ = 0

Para que não tenhamos solução trivial novamente, precisamos que

cos ⁡ 2 - λ = 0

Agora olhe só o círculo trigonométrico:

Como o cosseno está no eixo x e o seno no eixo y , vemos que: cos ⁡ π 2 = cos ⁡ 3 π 2 = cos ⁡ 5 π 2 = … = 0

Ou seja, o cosseno se anula para todo múltiplo ímpar de π / 2 . Logo, temos que:

cos ⁡ 2 - λ = 0 ⟹ 2 - λ = 2 n + 1 2 π

Logo, isolando λ temos os nossos autovalores associados: λ n = - 2 n + 1 2 π 2 16

Sendo n maior ou igual a zero. Pronto, esses são os valores possíveis para que o problema tenha solução 😊

Resposta

λ n = - 2 n + 1 2 π 2 16

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo - y ' ' + x 2 y = λ y , y ' 0 - y 0 = 0 , y ' 1 + y 1 = 0
Resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução..
Considere o problema em que α é uma constante dada. Se α1, mostre que existe exatamente um autovalor negativo e que esse autovalor diminui quando a aumenta.
Considere o problema em que α é uma constante dada. Mostre que λ = 0 é um autovalor, se e somente se α = 1.
Determine se o problema de valores de contorno dado é autoadjunto.