Exercícios Resolvidos de Problemas de Autovalor

Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.

y ' ' + λ y = 0

y ' 0 = 0 ,     y 1 = 0

Passo 1

Para acharmos os autovalores e as auto funções temos que primeiro montar e resolver a equação característica do problema. Montando a equação.

r 2 + λ = 0

Δ = - 4 λ

Agora vamos analisar cada caso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Caso Δ = 0

Quando temos uma raiz dupla nós já sabemos que a solução vai ter essa cara.

y x = ( c 1 + c 2 x ) e r x

Como r = ± Δ 2 = 0

y x = c 1 + c 2 x

Passo 3

Vamos usar os valores iniciais para descobrir se esse caso nos dá soluções não triviais. Vamos primeiro calcular y ' ( x )

y ' x = c 2

Agora vamos substituir os valores iniciais.

y ' 0 = c 2 = 0

y 1 = c 1 + c 2 = 0

c 1 = 0

Logo y x = 0 . Então esse caso só nos deu uma solução trivial

Passo 4

Caso Δ > 0

Teremos duas raízes distintas e reais iguais a.

r = ± Δ 2 r 1 = - λ r 2 = - - λ

E a solução vai ter a seguinte cara.

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

y x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Passo 5

Vamos usar os valores iniciais para descobrir se esse caso nos dá soluções não triviais. Vamos primeiro calcular y ' ( x )

y ' x = c 1 - λ e - λ x - c 2 - λ e - - λ x

Vamos substituir os valores iniciais.

y ' 0 = ( c 1 - c 2 ) - λ = 0

Como nesse caso - λ > 0 , então - λ 0 . Vamos ter

c 1 = c 2

Vamos substituir isso em y x e y ' x

y ' x = c 1 - λ e - λ x - c 1 - λ e - - λ x

E

y x = c 1 e - λ x + c 1 e - - λ x

y 1 = c 1 e - λ + e - - λ = 0

y 1 = c 1 - λ e - λ = 0

Então

c 1 = 0

O que nos dá outra solução trivial.

Passo 6

Caso Δ < 0

Nesse caso iremos ter duas raízes complexas que serão

r = ± Δ 2 r 1 = 0 + i λ r 2 = 0 - i λ

Então a nossa solução vai ter a seguinte cara.

y x = c 1 cos λ x + c 2 sen λ x

Passo 7

Vamos usar os valores iniciais para descobrir se esse caso nos dá soluções não triviais. Vamos primeiro calcular y ' ( x )

y ' ( x ) = - c 1 λ sen λ x + c 2 λ cos λ x

Vamos substituir os valores iniciais.

y ' 0 = c 2 λ = 0

Como nesse caso λ 0

c 2 = 0

y 1 = c 1 cos λ = 0

Agora nós temos dois casos ou

c 1 = 0

o que daria outra solução trivial, ou

cos λ = 0

Vamos tentar essa segunda opção.

λ = π 2 + n π λ = π 2 + n π 2

Resposta

y x = cos λ n x

λ = π 2 + n π 2

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