Exercícios Resolvidos de Problemas de Autovalor

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Enunciado

Determine todos os valores de λ   ϵ   R   (e todas as soluções correspondentes), para os quais existem soluções não-nulas do problema de valor de contorno:

y ' ' x - λ   y ' x + 2   y x = 0   y 0 = 0 ,     y 2 π = 0

Passo 1

Como temos um problema de autovalor, vamos montar e resolver a equação característica da equação de Y ( y ) .

y ' ' x = r 2 ,   y ' x = x   e   y x = 1

Assim, a equação característica correspondente a EDO é r 2 - λ r + 2 = 0 . O discriminante é Δ =   λ 2 - 8 . Vamos estudar os três casos.

Passo 2

S e   Δ > 0 :

Temos duas raízes reais distintas r 1 ≠ r 2   e a solução geral é na forma   y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x .

Substituindo a primeira condição de contorno, a y 0 = 0 , temos:

c 1 + c 2 = 0   ; c 1 =   - c 2

Usando agora a segunda condição de contorno, y 2 π = 0 , temos:

0 = c 1 e 2 π   r 1 + c 2 e 2 π   r 2 (1)

0 =   c 1 e 2 π r 1 - c 1 e 2 π r 2 (2)

Como r 1 ≠ r 2 , para a equação (2) der zero, é necessário que c 1 = 0 . Sabendo isso, substitui o valor encontrado em (1) e encontraremos que c 2 também é zero. Logo, o caso Δ > 0 não temos soluções não-nulas.

Passo 3

Se Δ = 0 :

Temos duas raízes reais repetidas r 1 =   r 2   ≠ 0 com a solução geral no formato de y x = c 1 + c 2 x e r 1 x

Substituindo a primeira condição de contorno, a y 0 = 0 , temos c 1 = 0 .

Usando agora a segunda condição de contorno, y 2 π = 0 , temos:

0 = c 1 + 2 π c 2 e 2 π r 1

Dado a descoberta da primeira condição, temos 0 = 2 π c 2 e 2 π r 1 , de onde concluímos que   c 2 = 0

Logo, em Δ = 0 , também não temos soluções não nulas.

Passo 4

Se   Δ < 0 :

Temos duas raízes distintas e imaginárias, calculadas da seguinte forma:

r 1 =   λ 2 +   λ 2 - 8 2 i   ;   r 2 = λ 2 -   λ 2 - 8 2 i

A solução geral é da forma: y x e   λ 2   x ( c 1 cos ⁡ λ 2 - 8 2 x + c 2 s e n   ( λ 2 - 8 2 x )

Substituindo a primeira condição de contorno, a y 0 = 0 , temos c 1 = 0 .

Usando agora a segunda condição de contorno, y 2 π = 0 , temos:

0 = c 2 e π λ s e n   (   λ 2 - 8   π )

Para ter solução não nula, é necessário que s e n     λ 2 - 8   π = 0 . Assim:

λ 2 - 8 = n

8 -   λ 2 = n 2  

8 - n 2 =   λ 2 ,

onde n é um inteiro estritamente maior que zero. Mas, como   8 - n 2 =   λ 2 , temos que 8 - n 2 > 0 , de onde surge que   n = 1   e   n = 2 . Logo, temos quatro soluções não nulas:

y x = c 2 e 7 2   x s e n   1 2   x associada a λ =   7

y x = c 2 e - 7 2   x s e n   1 2   x associada a λ =   - 7

y x = c 2 e 2 x s e n x associada a λ = 2

y x = c 2 e - 2 x   s e n x associada a   λ = - 2

Resposta

y x = c 2 e 7 2   x s e n   1 2   x associada a λ =   7

y x = c 2 e - 7 2   x s e n   1 2   x associada a λ =   - 7

y x = c 2 e 2 x s e n x associada a λ = 2

y x = c 2 e - 2 x   s e n x associada a   λ = - 2

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo - y ' ' + x 2 y = λ y , y ' 0 - y 0 = 0 , y ' 1 + y 1 = 0
Resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução..
Considere o problema em que α é uma constante dada. Se α1, mostre que existe exatamente um autovalor negativo e que esse autovalor diminui quando a aumenta.
Considere o problema em que α é uma constante dada. Mostre que λ = 0 é um autovalor, se e somente se α = 1.
Determine se o problema de valores de contorno dado é autoadjunto.