Exercícios Resolvidos de Problemas de Autovalor

UFRJ, Cálculo IV, P2/2014.1, 2

Determinar para quais valores de λ   R o seguinte problema de valor de contorno admite soluções não triviais (não identicamente nulas):

y ' ' x - 2 y x = λ y x ,           0 < x < 1 / 2 y ' 0 = y 3 = 0

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica, ok? Temos o seguinte:

r 2 - 2 = λ

Lembra que y ' ' vira r 2 , y ' vira r e y vira apenas o número 1 , beleza?

Certo, isso nos dá então:

r = ± λ + 2 = ± Δ 2

Logo,

Δ = 4 λ + 8

Como não sabemos o valore de λ , temos que analisar o problema para cada caso de .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O primeiro caso é quando > 0 , o que nos dá

4 λ + 8 > 0                   λ > - 2

Nesse caso, as soluções são do tipo:

y x = c 1 e λ + 2 x + c 2 e - λ + 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: y ' 0 = 0 y 3 = 0 . Temos:

y ' ( x ) = c 1 λ + 2 e λ + 2 x - c 2 λ + 2 e - λ + 2 x

y ' 0 = c 1 λ + 2 - c 2 λ + 2 = 0

y 3 = c 1 e 3 λ + 2 + c 2 e - 3 λ + 2 = 0

Isso nos dá

( c 1 - c 2 ) λ + 2 0 = 0

Como o que está dentro do colchete é diferente de zero (lembra que nesse caso λ + 2 > 0 ), então:

c 1 = c 2

Aqui temos o mesmo raciocínio:

c 1 ( e 3 λ + 2 + e - 3 λ + 2 0 ) = 0

c 1 = 0

c 2 = c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

y x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Passo 3

Vamos agora ao caso em que = 0 , o que nos dá λ = - 2 . As soluções são do tipo:

y x = ( c 1 + c 2 x ) e r x

Como a raiz r = 0 , temos:

y x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: y ' 0 = 0 y 3 = 0

y ' x = c 2

y ' 0 = c 2 = 0

y 3 = c 1 + 3 c 2 = 0

Isso nos dá

c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

y x = 0

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada, então o caso também não traz soluções para a EDO.

Passo 4

Vamos agora ao último caso, < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso,

4 λ + 8 < 0                 λ < - 2

As soluções são do tipo:

y x = c 1 e α x cos β x + c 2 e α x sen β x

Substituindo r = ± λ + 2 = 0 ± i - λ - 2

y x = c 1 cos - λ - 2 x + c 2 sen - λ - 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: y ' 0 = 0 y 3 = 0 . Temos:

y ' ( x ) = - c 1 - λ - 2 sen - λ - 2 x + c 2 - λ - 2 cos - λ - 2 x

y ' 0 = - c 1 - λ - 2 sen 0 + c 2 - λ - 2 cos 0 = 0

y 3 = c 1 cos 3 - λ - 2 + c 2 sen 3 - λ - 2 = 0

Isso nos dá

c 2 - λ - 2 0 = 0                 c 2 = 0

c 1 0 cos 3 - λ - 2 = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 1 = 0 , a solução é a trivial y x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o cosseno seja zero.

cos 3 - λ - 2 = 0

Mas como o cosseno é uma função trigonométrica, isso não tem só uma resposta. O cosseno se anula de forma “intercalada” com o seno. Como assim? O seno se anula em n π , já o cosseno se anula “ π / 2 antes”, ou seja, em n π - π / 2 . Se você ficar confuso, pode desenhar um ciclo trigonométrico! Temos, então:

3 - λ - 2 = n π - π 2             n = 1,2 , 3

3 - λ - 2 = π ( 2 n - 1 ) 2

- λ - 2 = π 2 n - 1 6 2

λ n = - 2 - π 2 n - 1 6 2

Nós descobrirmos, então, um conjunto de valores λ n (autovalores) que satisfazem o nosso problema.

Como o 3º caso é o único que nos dá soluções não triviais, essa é a resposta da questão.

Resposta

λ n = - 2 - π 2 n - 1 6 2

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