Exercícios Resolvidos de Problemas de Autovalor

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Enunciado

Determine todos os valores de   λ para os quais o seguinte problema de EDO com condições de contorno tem ao menos uma solução não trivial.

Y " ( y )   -   λ Y   ( y )   =   0  

Y ' ( 0 )   =   0 ;   Y '   ( 2 )   =   0 .

Passo 1

Como temos um problema de autovalor, vamos montar e resolver a equação característica da equação de   Y ( y )

r 2 - λ = 0

r 2 = λ

Agora vamos analisar cada caso.

Passo 2

Se   λ > 0 ,   teremos duas raízes r 1 = λ   e     r 2 = - √ λ  

y x = c 1 e r 1 y + c 2 e y r 2 = c 1 e y λ   + c 2 e y - √ λ

Nas condições de contorno...

Y '   0 = c 1 λ e 0 λ   + c 2 - λ e 0 - λ =   0

Y ' ( 0 ) = c 1 λ - c 2 λ = λ ( c 1 - c 2 ) =   0 ∴   c 1 = c 2

Y '   2 = c 1 λ e 2 λ   - e 2 - λ =   0 ∴ c 1 = 0

Neste caso, só teremos soluções triviais.

Passo 3

Se   λ = 0 ,   teremos duas raízes iguais a r = λ a solução da seguinte forma:

Y y = c 1 + c 2 y e y λ = c 1 + c 2 y

Cuja derivada é

Y ' y = c 2

Aplicando as condições iniciais

Y ' 0 = c 2 = 0    

Y ' 2 = c 2 = 0 ∴   c 2 = 0

Y y = c 1

Logo, há soluções não triviais!

Passo 4

Se   λ < 0 , r = ± i - λ   e a solução tem essa cara aqui

Y y = c 1 s e n λ y + c 2 cos ⁡ λ y

Y ' 0 = c 1 λ c o s λ y - c 2 λ sen ⁡ λ y = c 1 λ = 0   ∴   c 1 = 0

Y ' 2 = c 2 λ sen ⁡ 2 λ = 0

Como queremos soluções não triviais

2 λ = n π ,   n = 1,2 , 3 …

Se temos estes valores de λ n , as soluções serão não triviais

λ n = - n ² π ² 4 ,     n = 1,2 , 3 …

Resposta

  λ = 0   e   λ n = - n ² π ² 4 ,     n = 1,2 , 3 …

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo - y ' ' + x 2 y = λ y , y ' 0 - y 0 = 0 , y ' 1 + y 1 = 0
Resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução..
Considere o problema em que α é uma constante dada. Se α1, mostre que existe exatamente um autovalor negativo e que esse autovalor diminui quando a aumenta.
Considere o problema em que α é uma constante dada. Mostre que λ = 0 é um autovalor, se e somente se α = 1.
Determine se o problema de valores de contorno dado é autoadjunto.