Exercícios Resolvidos de Problemas de Autovalor

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Enunciado

4- Na solução do problema de Valor inicial e de Contorno para a equação do calor numa barra de comprimento π com condições de contorno u 0 ,   t = u x π , t = 0 , para todo t > 0 (barra isolada numa extremidade e mantida a zero graus na outra), pelo método de separação de variáveis, precisamos resolver o seguinte problema de autovalores e autofunções:

- X ' ' = λ X ,       0 < x < π , X 0 = 0 ,   X ' π = 0

Determine uma sequência de autovalores e autofunções associados para este problema, ou seja, encontre uma sequência de funções X 1 ,   X 2 …   não nulas tais que λ 1 < λ 2 < … , - X n ' ' x = λ n X n x para todo x ∈ 0 ,   π , X n 0 = 0 e X ' π = 0 .

Passo 1

Vamos começar então resolvendo essa EDO de segunda ordem...

- X ' ' = λ X       →

X ' ' + λ X = 0

Por equação característica:

b 2 + λ = 0     →    

      b 1 = - λ b 2 = - - λ

Agora vamos analisar cada caso dependendo do valor de λ que no caso é desconhecido (até o momento ;).

Passo 2

1º - Caso λ < 0 :

Caso isso aconteça,

      b 1 = - λ b 2 = - - λ

São valores reais e diferentes entre si e, portanto, a solução será:

X = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Aplicando a primeira condição de contorno de que...

X 0 = 0         →           X 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 = c 1 + c 2 = 0   →

c 1 = - c 2

Para a segunda X ' π = 0 , como estamos falando de derivada, precisamos derivar rapidinho a solução:

X ' = - λ c 1 e - λ x - - λ c 2 e - - λ x     →

Substituindo agora...

X ' π = 0           →             X ' π = c 1 - λ e - λ π - c 2 - λ e - - λ π = 0     →

- c 2 - λ e - λ π - c 2 - λ e - - λ π = 0   →         c 2 - - λ e - λ π - - λ e - - λ π = 0       →

Pow, como esse termo dos parênteses não é 0 ...

c 2 = 0

c 1 = 0

Logo

X x = 0

Essa é uma solução trivial e que não queremos! Então analisemos o outro caso...

Passo 3

2º - Caso λ = 0 :

Nesse caso, a solução da equação característica será:

      b 1 = - λ b 2 = - - λ     →

b 1 = b 2 = b = 0

Nesse caso, o modelo de resposta para a EDO é assim:

X = c 1 e b ⋅ x + c 2 x e - b ⋅ x   →

X = c 1 e 0 + c 2 x e 0   →          

X = c 1 + c 2 x

Substituindo a primeira condição...

X 0 = 0       →             X 0 = c 1 + c 2 ⋅ 0 = 0     →           c 1 = 0

Derivando e substituindo a segunda...

X = c 1 + c 2 x       →             X ' x = c 2

X ' π = 0           →                 X ' π = c 2 = 0

Novamente ganhamos a solução trivial:

X = 0

Mas não desista pois ainda temos mais um caso para analisar!

Passo 4

3º - Caso λ > 0 :

Nesse caso, teremos uma solução imaginária para a Equação característica...

b 2 + λ = 0     →           b 1 = - λ b 2 = - - λ         →

b = ± i λ

E, portanto, o modelo de solução da EDO é assim:

X = c 1 sin ⁡ λ ⋅ x + c 2 cos ⁡ λ ⋅ x  

Substituindo a primeira condição...

X 0 = 0             →             X 0 = c 1 sin ⁡ 0 + c 2 cos ⁡ 0 = 0     →

c 2 = 0

Derivando e substituindo a segunda...

X ' = c 1 λ cos ⁡ λ ⋅ x - c 2 λ sin ⁡ λ ⋅ x =

c 1 λ cos ⁡ λ ⋅ x

X ' π = 0               →                 X ' π = c 1 λ cos ⁡ λ ⋅ π = 0       →

Como não queremos a solução trivial novamente, precisamos que...

c 1 ≠ 0       →

Logo...

cos ⁡ λ ⋅ π = 0       →

Ora, quando esse cosseno 0 ? Quando...

λ = 1 2 , 3 2 , 5 2 , …

Ou seja...

λ = 2 n - 1 2 ,             n ∈ 1 ,   2 ,   3 , …   o u

Logo, os autovalores são...

λ n = 2 n - 1 2 4 ,               n ∈ N

Para as autofunções, basta substituir aqui os valores de c 2 e de λ :

X = c 1 sin ⁡ λ ⋅ x + c 2 cos ⁡ λ ⋅ x →

X = c 1 sin ⁡ 2 n - 1 2 ⋅ x

Para as autofunções, a gente pode desconsiderar o c 1 , então...

X n = sin ⁡ 2 n - 1 2 ⋅ x   ,               n ∈ N

Resposta

λ n = 2 n - 1 2 4 ,               n ∈ N

X n = sin ⁡ 2 n - 1 2 ⋅ x   ,               n ∈ N

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo - y ' ' + x 2 y = λ y , y ' 0 - y 0 = 0 , y ' 1 + y 1 = 0
Resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução..
Considere o problema em que α é uma constante dada. Se α1, mostre que existe exatamente um autovalor negativo e que esse autovalor diminui quando a aumenta.
Considere o problema em que α é uma constante dada. Mostre que λ = 0 é um autovalor, se e somente se α = 1.
Determine se o problema de valores de contorno dado é autoadjunto.