Exercícios Resolvidos de Problemas de Autovalor

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Enunciado

Supondo L > 0 , determine todos os autovalores reais λ as respectivas autofunções X ( x ) do problema de valor de contorno abaixo.

X ' ' + λ X = 0 X 0 = 0 X ' L = 0

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Como não sabemos o valore de λ , temos que analisar o problema para cada caso de e depois juntar as respostas que encontrarmos.

Passo 2

Vamos analisar o caso em que ∆ > 0 , o que nos dá λ < 0 . Nesse caso, as soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X ' L = 0 . Temos:

X ' ( x ) = c 1 - λ e - λ x - c 2 λ e - - λ x

X 0 = c 1 + c 2 = 0

X ' L = c 1 - λ e L - λ - c 2 - λ e - L - λ = 0

Isso nos dá

c 1 = - c 2

Aqui temos o mesmo raciocínio:

c 1 ( - λ e L - λ - - λ e - L - λ ) ⏟ ≠ 0 = 0

c 1 = 0

c 2 = - c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Passo 3

Vamos ver agora o caso em que ∆ = 0 , o que nos dá λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 e X ' L = 0

X ' x = c 2

X 0 = c 1 = 0

X ' ( L ) = c 2 = 0

Bom, temos novamente apenas a solução trivial, não é? Vamos para o próximo caso agora!

Passo 4

Por último, temos o caso em que ∆ < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X ' L = 0 . Temos:

X ' ( x ) = - c 1 λ sen ⁡ λ x + c 2 λ cos ⁡ λ x

X ( 0 ) = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0

X ' L = - c 1 λ sen ⁡ L λ + c 2 λ cos ⁡ L λ = 0

Isso nos dá

c 1 = 0

c 2 ⏟ ≠ 0 λ cos ⁡ L λ = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 2 = 0 , a solução é a trivial X x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade aí em cima ser verdadeira, precisamos que o cosseno seja zero.

cos ⁡ L λ = 0

Isso ocorre quando:

L λ = n π - π 2             n = 1,2 , 3 …

λ = 2 n π - π 2 L

λ n = 2 n π - π 2 L 2

Substituindo, temos a seguinte solução

X n x = sen ⁡ 2 n π - π 2 L x                 n = 1,2 , 3 …

Como esse é o único caso que não nos traz solução trivial, essa é a resposta da nossa questão.

Resposta

X n x = sen ⁡ 2 n π - π 2 L x

Onde

λ n = 2 n π - π 2 L 2

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Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo - y ' ' + x 2 y = λ y , y ' 0 - y 0 = 0 , y ' 1 + y 1 = 0
Resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução..
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Considere o problema em que α é uma constante dada. Mostre que λ = 0 é um autovalor, se e somente se α = 1.
Determine se o problema de valores de contorno dado é autoadjunto.