Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 28 –Q1.25 e pp 31 – ex1.52

  1. Se A * B = 0 , é necessariamente verdadeiro que A = 0   ou B = 0 ? Explique
  2. Use componentes de vetores para provar que dois vetores são comutativos tanto para soma quanto para produto escalar.

Passo 1

Pra fazer essa questão vamos lembrar da fórmula do produto escalar:

A * B = | A | | B | c o s ( θ )

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Passo 2

Alternativa a)

Pra fazer essa questão vamos analisar primeiro o lado direito da equação.

Vamos considerar que nem A , e nem B tem valor 0 . Assim,

A > 0

B > 0

Assim, para o produto escalar ser 0 , o ângulo entre os vetores teria que ser ou 90 ° ou 270 ° , pois assim o cos θ = 0

Resumindo: N ã o   p r e c i s a m   s e r   n e c e s s a r i a m e n t e   0

Passo 3

Alternativa b)

Vamos usar dois vetores e suas componentes:

A = A x i + A y j

B = B x i + B y j

Passo 4

Primeiramente vamos provar que dois vetores são comutativos para soma:

A + B = A x + B x i + A y + B y j

B + A = B x + A x i + B y + A y j

Como achamos o mesmo resultado, provamos que a soma é comutativa

A + B = B + A

Passo 5

Agora vamos testar o produto escalar:

A * B = A x B x + A y B y

B * A = B x A x + ( B y A y )

Novamente, como encotramos o mesmo resultado nas duas operações, provamos que o produto escalar também é comutativo

A * B = B * A

Resposta

  1. Não

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