Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 34 – ex1.93

Um cubo é colocado de um modo que um dos vértices esteja na origem e três arestas coincidam com os eixos x ,   y   e   z de um sistema de coordenadas (Figura 1.43 ). Use vetores para calcular:

  1. O ângulo entre a aresta ao longo do eixo z (linha a b ) e a diagonal da origem até o vértice oposto (linha a d );
  2. O ângulo entre a linha a c (a diagonal de uma das faces) e a linha a d .

Passo 1

Como queremos saber o ângulo entre os vetores, vamos usar o produto escalar, pode ser?

A → ∙ B → = | A → | | B → | c o s ⁡ ( θ )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos escrever o vetor que representa cada segmento que foi dado no problema:

a b → = ( 0,0 , l )

a d → = ( l , l , l )

a c → = ( 0 , l , l )

Passo 3

Alternativa a)

Fazendo o produto escalar entre as linhas a d e a b

a d → ∙ a b → = | a d → | | a b → | c o s ⁡ ( θ )

l , l , l ∙ 0,0 , l = 3 l .   l . cos ⁡ ( θ 1 )

l 2 = l 2 3 cos ⁡ θ 1

Isolando o cos ⁡ θ 1   temos:

C o s θ 1 = 3 3

Logo:

θ 1 = 54,7 °

Passo 4

Alternativa b)

Fazendo o produto escalar entre as linhas a d e a c

a d → ∙ a c → = | a d → | | a c → | c o s ⁡ ( θ )

l , l , l ∙ 0 , l , l = l   3 . l 2 . cos ⁡ ( θ 2 )

2 l 2 = 6 . l 2 cos ⁡ θ 2

Isolando o cos ⁡ θ 2   temos:

C o s θ 2 = 6 3

Logo:

θ 2 = 35,3 °

Resposta

  1. θ 1 = 54,7 °
  2. θ 2 = 35,3 °

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