Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

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Enunciado

  1. Se A → * B → = 0 , é necessariamente verdadeiro que A = 0   ou B = 0 ? Explique
  2. Use componentes de vetores para provar que dois vetores são comutativos tanto para soma quanto para produto escalar.

Passo 1

Pra fazer essa questão vamos lembrar da fórmula do produto escalar:

A → * B → = | A → | | B → | c o s ⁡ ( θ )

Passo 2

Alternativa a)

Pra fazer essa questão vamos analisar primeiro o lado direito da equação.

Vamos considerar que nem A → , e nem B → tem valor 0 . Assim,

A → > 0

B → > 0

Assim, para o produto escalar ser 0 , o ângulo entre os vetores teria que ser ou 90 ° ou 270 ° , pois assim o cos ⁡ θ = 0

Resumindo: N ã o   p r e c i s a m   s e r   n e c e s s a r i a m e n t e   0

Passo 3

Alternativa b)

Vamos usar dois vetores e suas componentes:

A → = A → x i + A → y j

B → = B → x i + B → y j

Passo 4

Primeiramente vamos provar que dois vetores são comutativos para soma:

A → + B → = A x + B x i + A y + B y j

B → + A → = B x + A x i + B y + A y j

Como achamos o mesmo resultado, provamos que a soma é comutativa

A → + B → = B → + A →

Passo 5

Agora vamos testar o produto escalar:

A → * B → = A x B x + A y B y

B → * A → = B x A x + ( B y A y )

Novamente, como encotramos o mesmo resultado nas duas operações, provamos que o produto escalar também é comutativo

A → * B → = B → * A →

Resposta

  1. Não

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