Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

Ver Teoria

Enunciado

Dado três vetores:

P → = 3 i ^ + 2 j ^ - k ^

Q → = - 6 i ^ - 4 j ^ + 2 k ^

R → = i ^ - 2 j ^ - k ^

Encontre dois que sejam perpendiculares e dois que sejam paralelos ou antiparalelos

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema deu três vetores e pediu para encontrarmos dois vetores que sejam paralelos (ou antiparalelos) e dois que sejam perpendiculares.

Para resolver, precisamos lembrar da condição de paralelismo entre dois vetores! Dois vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro

E antiparalelo quando é um múltiplo, mas com sinal negativo do outro!

E perpendicularidade? Quando o produto escalar entre eles é zero!

O produto escalar entre dois vetores u → e v → quaisquer é:

u → ⋅ v → = u → v → c o s θ

Se aquele u → ⋅ v → for zero significa que c o s θ = 0 e isso acontece quando θ = 90 ° ! E como calculamos isso? É só multiplicar componente a componente dos dois vetores (i com i, j com j)!

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

Os vetores dados foram:

P → = 3 i ^ + 2 j ^ - k ^

Q → = - 6 i ^ - 4 j ^ + 2 k ^

R → = i ^ - 2 j ^ - k ^

Olhando-os com carinho, vemos que o vetor Q → pode ser obtido se multiplicarmos o vetor P → por - 2 !

Vamos ver se é verdade:

- 2 P → = - 2 3 i ^ + 2 j ^ - 1 k ^ = - 6 i ^ - 4 j ^ + 2 k ^ = Q →

Ótimo! Então P → e Q → são antiparalelos!

Beleza?

Agora vamos encontrar dois que sejam perpendiculares!

Passo 3

Procuramos dois vetores cuja soma da multiplicação de componente a componente seja zero! Bom, pegando os mesmos vetores dados:

P → = 3 i ^ + 2 j ^ - k ^

Q → = - 6 i ^ - 4 j ^ + 2 k ^

R → = i ^ - 2 j ^ - k ^

Olhem com carinho os vetores P → e R → ! Agora vamos multiplicar componente a componente e somar:

P → ⋅ R → = 3 i ^ + 2 j ^ - k ^ ⋅ i ^ - 2 j ^ - k ^ = 3 - 4 + 1 = 0

Como o produto deu zero, podemos afirmar que esses dois vetores são perpendiculares!

Assim P → e R → são perpendiculares

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

P → e Q → são antiparalelos

P → e R → são perpendiculares

Exercícios de Livros Relacionados

Verdadeiro ou falso: (a) O produto escalar não pode ter unidades. (b) Se o produto escalar de dois vetores diferentes de zero for zero, eles serão paralelos. (c) Se o produto escalar de dois vetores d
Para quaisquer dois vetores A → e B → , mostre que A → ∙ B → = A x B x + A y B y + A z B z . Sugestões: Escreva A → e B → na forma de vetor unitário e use as Equações 6.4 e 6.5.
Dois vetores a → e b → têm componentes, em metros, a x   =   3,2 , a y   =   1,6 , b x   =   0,50 e b y   =   4,5 (a) Determine o ângulo entre a →   e   b → . Existem dois vetores no plano x y que são
O módulo do vetor A é 6,00 unidades, o módulo do vetor B é 7,00 unidades e A · B=14,0 . Qual é o ângulo entre AeB ?
Use a definição de produto escalar , a → . b → = a . b . cos ⁡ ∅ e o fato de que a → . b → = a x b x +a y b y + a z b z para calcular o ângulo entre os vetores a → =3,0 i →+3,0 j →+3,0 k → e b →=2,0 i