Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 33 –ex1.85

Os vetores A e B são desenhados a partir de um mesmo ponto. O vetor A possui módulo A e forma um ângulo θ A medido supondo-se um rotação no sentido do eixo + O x para o eixo + O y . As grandezas correspondentes do vetor B são o módulo B e o ângulo θ B . Logo, A = A c o s θ A i + A s e n θ A j , B = B c o s θ B i + B s e n θ B j e φ = θ B - θ A é o ângulo entre A e B .

  1. Deduza a equação 1.18 partindo da equação 1.21
  2. Deduza a equação 1.22 partindo da equação 1.27

A B = A B cos ϕ = A   B cos ϕ             1.18

A B = A x B x + A y B y + A z B z         ( 1.21 )

C = A B   s e n   ϕ                 ( 1.22 )

C x = A y B z - A z B y       C y = A z B x - A x B z       C z = A x B y - A y B x           ( 1.27 )

Passo 1

Alternativa a)

Partindo da equação 1 ; 21 temos:

A * B = A x B x + A y B y + A z B z

Mas como foi dado no enunciado, as componentes z tanto de A   e de B são 0 .

A * B = A x B x + A y B y

Partindo da equação acima, queremos chegar na equação abaixo:

A * B = A B c o s ( φ )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, se olhar pro enunciado e pra equação que estamos partindo, o que podemos mudar ali são as componentes, certo? Não vamos mexer no lado esquerdo, mas a gente pode escrever as componentes de outra forma.

A * B = A x B x + A y B y

Lembrando que:

A = A c o s θ A i + A s e n θ A j

B = B c o s θ B i + B s e n θ B j

Substituindo na equação temos:

A * B = A c o s θ A B c o s θ B + A s e n θ A B s e n θ B

Não vou mudar nada, ok? Só reorganizar :)

A * B = A B c o s θ A c o s θ B + s e n θ A s e n θ B

Passo 3

Agora vamos ter que puxar um conceito lá de trigonometria, mas se você não lembrar não esquenta, eu a gente te ajuda ;)

C o s a ± b = cos a cos b s e n a s e n ( b )

Mas não é que apareceu a mesma coisa? Agora a gente pode simplificar aquela expressão grandona da nossa expressão

A * B = A B c o s ( θ A - θ B

Ai a gente troca aquela agora subtração ali e pimba !

A * B = A B c o s ( φ )

Passo 4

Alternativa b)

Bom, partindo do que foi dado no enunciado nós temos:

C = A x B y - A y B x

Vamos trocar as componentes da mesma forma. Sem problemas, né?

C = A c o s θ A   B s e n θ B - A s e n θ A B c o s θ B

Vou reorganizar do mesmo jeito que fiz antes. A idéia da alternativa a) é quase a mesma que a idéia da alternativa b)

C = A B c o s θ A   s e n θ B - s e n θ A c o s θ B

Passo 5

Se lembra da trigonometria que a gente usou na alternativa a)? Vamos usar trigonometria agora também!

s e n a ± b = cos a sen b ± s e n a c o s ( b )

Substituindo na equação que a gente parou ...

C = A B s e n θ A - θ B

Assim:

C = A B s e n φ

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