Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

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Enunciado

Ache o ângulo entre cada par de vetores:

  1. A → =   - 2,0 î   +   6,0 j                   e                   B → = 2,0 î - 3,0 j  
  2. A → =   3,0 î   +   5,0 j                   e                   B → = 10,0 î + 6,0 j  
  3. A → =   - 4,0 î   +   2,0 j                   e                   B → = 7,0 î + 14,0 j  

Passo 1

Para achar o ângulo entre os vetores vamos usar a fórmula do produto escalar. Como os vetores estão decompostos, vamos ter que calcular o módulo para podermos descobrir o ângulo.

A → ∙ B → = | A → | | B → | c o s ⁡ ( θ )

Onde θ é o ângulo entre os vetores:

Passo 2

Alternativa a)

Calculando o módulo dos vetores:

A → = - 2,0 2 + 6,0 2

B → = 2,0 2 + - 3,0 2

Assim temos:

A → = 2 10

B → = 13

Passo 3

Realizando o produto escalar

A → ∙ B → = | A → | | B → | c o s ⁡ ( θ )

Substituindo os valores temos:

- 2,0 i + 6,0 j 2,0 i - 3,0 j = 2 10 . 13 . c o s ⁡ ( θ )

- 22 2 130 = cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = - 0,96

Determinando esse cosseno pela calculadora científica, teremos:

θ ≅ 163,7 °

Passo 4

Alternativa b)

Calculando o módulo dos vetores:

A → = 3,0 2 + 5,0 2

B → = 10 2 + 6,0 2

Assim temos:

A → = 34

B → = 2 √ 34

Passo 5

Realizando o produto escalar

A → ∙ B → = | A → | | B → | c o s ⁡ ( θ )

Substituindo os valores temos:

3,0 i + 5,0 j 10,0 i + 6,0 j = 2 34 . 34 . c o s ⁡ ( θ )

60 68 = cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 0,88

Assim:

θ ≅ 28,3 °

Passo 6

Alternativa c)

Calculando o módulo dos vetores:

A → = - 4,0 2 + 2,0 2

B → = 7,0 2 + 14,0 2

Assim temos:

A → = 2 5

B → = 7 5

Passo 7

Realizando o produto escalar

A → ∙ B → = | A → | | B → | c o s ⁡ ( θ )

Substituindo os valores temos:

- 4,0 i + 2,0 j 7,0 i + 14,0 j = 2 5 . 7 5 . c o s ⁡ ( θ )

0 70 = cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 0

Assim:

θ = 90 °

Resposta

a) θ ≅ 163,7 °

b) θ ≅ 28,3 °

c) θ = 90 °

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