Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

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Enunciado

Considerando que atuam em um corpo as forças   F 1 → = i + 2 j + 3 k   N e F 2 → = 3 i + j + 2 k   N assinale a afirmação correta.

  1. O ângulo entre as duas forças é c o s θ = 11 14
  2. A diferença entre as duas forças é dada F 1 → - F 2 → = 2 i + j + k   N
  3. A razão entre os produtos escalares da força resultante F R → com cada uma das duas forças satisfaz à condição F R → . F 2 → F R → . F 1 → > 1
  4. Em relação ao módulo F R → da força resultante e da força F 1 → , temos que F R = 2 F 1
  5. O módulo da força F 2 → é dado por F 2 = 6 N

Passo 1

a) Para calcular o ângulo formado por dois vetores tridimensionais, vamos utilizar a fórmula:

< F 1 , F 2 >   = | F 1 | | F 2 | c o s θ

< F 1 , F 2 >   = 1   .   3 + 2   .   1 + 3   .   2 = 11

| F 1 | = 14

| F 2 | = 14

Assim chegamos a:

11 = 14 c o s θ

c o s θ = 11 14

Portanto, esta alternativa está correta.

Passo 2

b) Temos que, realizando a subtração termo a termo:

F 1 → - F 2 → = 1 - 3 i ^ + 2 - 1 j ^ + 3 - 2 k ^ = - 2   i ^ + j ^ + k ^

O que é diferente da alternativa, portanto, esta alternativa está errada.

Passo 3

c) Sabemos que:

F R = F 1 + F 2

F R = 1 + 3 i ^ + 2 + 1 j ^ + 3 + 2 k ^

F R = 4 i ^ + 3 j ^ + 5 k ^

E então, fazendo o produto escalar dele com cada uma de suas componentes:

F R   . F 1 = 4   .   1 + 3   .   2 + 5   .   3

F R   .   F 1 = 4 + 6 + 15 = 25

Com a outra componente:

F R   . F 2 = 4   .   3 + 3   .   1 + 5   .   2

F R   .   F 2 = 12 + 3 + 10 = 25

Portanto:

F R   .   F 1 F R   .   F 2 = 1

Logo, a alternativa é falsa.

Passo 4

d) Para achar o módulo de F R :

F R = 4 2 + 3 2 + 5 2 = 50 = 5 2

Já o módulo de F 1 nós já encontramos:

F 1 = 14

Portanto:

F R → ≠ 2 F 1 →

Passo 5

e) Falso, o módulo de F 2 é:

F 2 → = 3 2 + 1 2 + 2 2 = 14

Resposta

  1. O ângulo entre as duas forças é  c o s θ = 11 14

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