Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

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Enunciado

Duas forças F 1 → e F 2 → são dadas (em Newtons), como segue:

F 1 → = 1 i ^ + 1 2 j ^ - 3 2 k ^

E

F 2 → = - 1 2 j ^ + 3 2 k ^

Qual é o ângulo entre F 1 → e F 2 → ?

a) 30º

b) 45º

c) 90º

d) 120º

e)135º

Passo 1

Para encontrar o ângulo entre dois vetores basta usar a fórmula do produto escalar:

F 1 →   .   F 2 → = F 1 → . F 2 → cos ⁡ θ

Lembrando que o módulo de um vetor é dado por:

V 1 → = V x 2 + V y 2 + V z 2

Portanto vamos ter que:

F 1 →   .   F 2 → = 1 2 + 1 2 2 + - 3 2 2 . - 1 2 2 + 3 2 2 cos ⁡ θ

F 1 →   .   F 2 → = 1 + 1 4 + 3 4 . 1 4 + 3 4 cos ⁡ θ

F 1 →   .   F 2 → = 2 . 1 cos ⁡ θ

F 1 →   .   F 2 → = 2 cos ⁡ θ

Passo 2

Agora temos que lembrar que temos outra fórmula para o produto escalar:

F 1 →   .   F 2 → = F 1 x F 2 x + F 1 y F 2 y + F 1 z F 2 z

Substituindo na equação de anterior:

F 1 x F 2 x + F 1 y F 2 y + F 1 z F 2 z = 2 cos ⁡ θ

1   .   0 + 1 2 - 1 2 + - 3 2 . 3 2 = 2 cos ⁡ θ

- 1 = 2 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = - 2 2

Passo 3

Sabemos que:

cos ⁡ 45 ° = 2 2

Ou seja, temos o cos ⁡ 45 ° , só que com o sinal negativo. Isso quer dizer que é o ângulo de 45° mas refletido no segundo quadrante, onde o cosseno é sempre negativo. Para achar esse ângulo é só fazer.

θ = 180 ° - 45 ° = 135 °

Resposta

Letra (e)

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