Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

Ver Teoria

Enunciado

Assinale a matriz que representa na base canônica do R 3 a projeção ortogonal no plano z = x + y :

a   A = 1 3 1 1 - 1 - 1 2 1 1 1 2

b   A = 1 3 2 - 1 1 - 1 2 1 1 1 2

c   A = 1 3 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1

d   A = 1 3 1 - 1 1 1 2 1 - 1 1 2

Passo 1

Bom, você pode ter um trabalho gigantesco pra achar a matriz que faz isso. Ou pode malandramente testar as matrizes das letras e ver qual é a certa haha. Como estamos projetando sobre um plano no R 3 , sabemos que os vetores ortogonais a ele serão zerados!

Para acharmos o vetor ortogonal ao plano é mole né. Só pegarmos os coeficientes da equação do plano e usarmos como as coordenadas do vetor:

x + y - z = 0

1,1 , - 1

Beleza, agora multiplicamos todas as matrizes por esse vetor e vemos qual dá certo ;)

Nesse caso só pela primeira linha já dá pra saber. Vamos aplicar o vetor 1 , 1 , - 1 na primeira linha de cada matriz:

a   1 1 - 1 1 1 - 1 = 1 + 1 + 1 = 3

b   2 - 1 1 1 1 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0

c   - 1 1 - 1 1 1 - 1 = - 1 + 1 + 1 = 1

d   1 - 1 1 1 1 - 1 = 1 - 1 - 1 = - 1

A única que zerou foi a letra b então tem que ser essa.

Ah, mas e se mais alguma tivesse zerado? Ai você testava as outras linhas da matriz também!

Ah, mas e se duas matrizes zerassem tudo? Realmente, isso é possível. Nesse caso você acharia uma base para o plano e aplicaria os vetores dessa base nessas matrizes que zeraram. Lembrando que os vetores do plano onde estamos projetando são autovetores associados ao autovalor 1 . Então o resultado teria que ser eles mesmos.

Resposta

Letra ( b )