Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. Se uma transformação linear T : R 3 → R 3 for uma rotação em torno de um eixo, então - 1 não é autovalor de T .
  2. Se o polinômio característico da matriz A ∈ M 2 × 2 for λ - 3 2 então o autoespaço N ( A - 3 I ) de A associado ao autovalor λ = 3 tem dimensão 2 .

a   I é falsa e II é verdadeira

b   Ambas são verdadeiras

c   Ambas são falsas

d   I é verdadeira e II é falsa

Passo 1

Afirmação I:

De fato em geral rotações no R 3 terão o autovalor 1 e um par de autovalores complexos. No entanto, já vimos que quando temos uma rotação de 180 ° , ela configura uma reflexão e passa a ter o autovalor - 1 ;)

Então essa é falsa.

Afirmação II:

É falsa, pois a dimensão do autoespaço, multiplicidade geométrica, não é a mesma coisa que o número de vezes que um autovalor é raiz do polinômio característico, multiplicidade algébrica.

Pegue por exemplo a matriz:

A = 3 2 0 3

Seu polinômio característico é λ - 3 2 , e o autoespaço associado a λ = 3 possui dimensão 1 .

Resposta

Letra ( c )