Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Sejam T e S transformações lineares de R 3 em R 3 , sendo T injetiva e S sobrejetiva. A única afirmativa que pode ser verdadeira é:

  1. T é a projeção ortogonal sobre 1 ,   - 2 ,   2 .
  2. 0 é autovalor de T .
  3. 0 é autovalor de S .
  4. S é uma rotação em torno da reta - 1 ,   3 ,   4

Passo 1

Show de belezeras galerinha, temos que T e S são transformações lineares de   R 3   e m   R 3 , isto é:

T : R 3 → R ³

S : R 3 → R ³

E sabemos também que T é injetiva e S é sobrejetiva. Dito isso, vamos analisar cada uma das alternativas e ver qual delas é verdadeira.

Passo 2

Na letra (a), ele tá afirmando que T é a projeção ortogonal sobre 1 ,   - 2 ,   2 . Mas é na projeção ortogonal que tá a malandragem, porque toda projeção ortogonal leva o vetor perpendicular à reta em questão 1 ,   - 2 ,   2 no 0 , isto é, seja o vetor u → perpendicular a ( 1 ,   - 2 ,   2 ) , temos que:

T u → = 0 →

Dessa maneira, teríamos que 0 é um autovalor associado a u → , tal que:

T u → = 0 u →

Maaass, uma transformação injetiva, como T , NÃO PODE ter o autovalor 0 . Então isso seria uma inconsistência, que resulta na nossa alternativa (a) sendo Falsa.

Passo 3

Agora na letra (b) ele afirma que 0 é autovalor de T . E acabamos de ver no Passo 1, que uma função injetiva NÃO PODE ter um o autovalor 0 . Isso ocorre porque uma função injetiva exige que a dimensão do núcleo seja igual a 0, ou seja, não pode haver nenhum vetor no núcleo da transformação B tal que:

B x → = 0 →

Mas quando se tem o autovalor 0 , obrigatoriamente vai se ter também um autovetor associado a ele, e sempre, SEMPRE, o autovetor associado a λ = 0 vai estar no núcleo da transformação!!

Portanto nossa letra (b), também é Falsa.

Passo 4

E na nossa letra (c), ele diz que 0 é autovalor de S . E aqui precisamos lembrar que S é uma transformação sobrejetiva

Uma função sobrejetiva, é aquela cujo a dimensão da imagem é igual a dimensão do contradomínio. Mas calma aí, porque nossa função é

Então a dimensão do contradomínio é igual a 3 , e em consequência disso:

dim ⁡ I m a g e m S = 3

E através do Teorema do Núcleo e Imagem, temos que:

dim ⁡ N ú c l e o S + dim ⁡ I m a g e m S = n

Onde n é igual a dimensão do DOMÍNIO. E se o contradomínio era o da direita:

O domínio agora vai ser o da esquerda, que por coincidência também é igual a 3 . Logo:

dim ⁡ N ú c l e o S + dim ⁡ I m a g e m S = 3

dim ⁡ N ú c l e o S + 3 = 3

dim ⁡ N ú c l e o S = 0

Então quer dizer que a dim ⁡ N ú c l e o S = 0 , e dessa forma a transformação S além de sobrejetiva, também vai ser injetiva. E como vimos no Passo 1 e 2, uma função injetiva, nunca, jamais, NEVER poderá ter o autovalor 0 . Dessa forma a afirmativa (c) também é Falsa.

Passo 5

Bom só restou essa alternativa pra gente né rsrs

Então bora testar ela só pra ter certeza mermo! Ela tá dizendo pra gente que   S é uma rotação em torno da reta - 1 ,   3 ,   4 . Bom galerinha, se ela é uma rotação em torno da reta, quer dizer que ela rotaciona todos os vetores ortogonais a essa reta por um ângulo pré determinado, MAASSS uma rotação não consegue “levar” nenhum vetor na origem a não ser o próprio 0 → , isso quer dizer que a dimensão do núcleo de uma rotação sempre será 0 , e a segunda propriedade é que uma transformação de rotação SEMPRE será sobrejetiva. E essas são propriedades que por coincidência combinam com S , tornando possível ela ser uma rotação em torno da reta - 1 ,   3 ,   4 . Portanto, letra (d) é verdadeira.

Resposta

Letra d, Verdadeira.