Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Considere as transformações lineares de R 2 em R 2 : P x , projeção ortogonal sobre o eixo x ; R 45 , rotação de 45   graus no sentido anti-horário em torno da origem e R - 45 , rotação de 45   graus no sentido horário em torno da origem. Seja T = R 45 P x R - 45 .

Considere as afirmativas:

  1. 0 e 1 são autovalores de T .
  2. ( 1 ,   0 ) e 0 ,   1 são autovetores de T .
  1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  2. (I) é falsa e (II) é falsa.
  3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

Show de bolinhas meus amores, pra gente entender melhor a matriz T = R 45 P x R - 45 e suas características, vamos encontrar as matrizes P x , R 45 e R - 45 separadamente, e ai conseguiremos ver a cara de T . Saca só, sobre P x , o enunciado diz que ela é uma projeção ortogonal sobre o eixo x , ou seja, quando aplicamos a transformação P x em um vetor qualquer, tudo que está sobre o eixo x vai permanecer sobre o eixo x , MAAASS tudo que estiver no eixo y (ortogonal a x ) vai ser levado no eixo x também, y = 0 , logo:

P x x ,   y = x ,   0

Se a gente for representar na forma matricial, teremos:

P x x y = x 0

Onde a matriz que se encaixa nessa transformação é P x = 1 0 0 0 , já que:

1 0 0 0 x y = x 0

Passo 2

Iradoso, agora que já sabemos como é P x , bora ver como se comporta a matriz R 45 . O enunciado nos deu que ela é uma rotação de 45   graus no sentido anti-horário. E nossa matriz que representa uma rotação de θ graus em R 2 tem a forma geral:

R θ = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Como queremos rotacionar 45 graus, temos que θ = 45 , logo:

R 45 = cos ⁡ 45 - sen ⁡ 45 se n ⁡ 45 cos ⁡ 45

R 45 = 2 2 - 2 2 2 2 2 2

Belezera, e fazendo a mesma coisa para R - 45 , temos que θ = - 45 ,   logo:

R - 45 = cos ⁡ - 45 - sen ⁡ - 45 se n ⁡ - 45 cos ⁡ - 45

R 45 = 2 2 2 2 - 2 2 2 2

Passo 3

Mec mais Mec que o Big Mac, então nossa matriz T é dada por:

T = R 45 P x R - 45

T = 2 2 - 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 2 2 2 2 - 2 2 2 2

E resolvendo a multiplicação entre essas matrizes, vamos ter que:

T = 1 2 1 2 1 2 1 2

Passo 4

Mas beleza então, dito isso, na afirmativa (I) precisamos verificar os autovalores da função. MAAASSSS aqui a gente pode ser malandro mais uma vez, e em vez de fazer o polinômio característico cheio de frações, podemos usar dois bizus super master matadores PRA ESSE TIPO DE QUESTÃO.

O primeiro é que sempre, SEMPRE, SEMPRE que a soma de cada coluna, ou a soma de cada linha, de uma matriz der o mesmo resultado então esse resultado é um autovalor

Saca só, na nossa matriz T = 1 2 1 2 1 2 1 2 , se a gente somar as colunas, vamos ter que:

1 2 + 1 2 = 1

1 2 + 1 2 = 1

E por pura coincidência do universo, o resultado das duas foi igual a 1 , sempre que isso acontece, o nosso número é um autovalor, nesse caso descobrimos que nossa matriz possui o autovalor 1 .

**Detalhe importante é que não precisa ser a soma de cada coluna & a soma de cada linha iguais necessariamente ao mesmo tempo, poderia ser a soma das linhas ou a soma das colunas, independentes uma da outra, que já bastaria pra ser um autovalor (como no nosso caso, bastou somente a soma das colunas).

Belezoca, agora que a gente descobriu um autovalor, falta descobrir o outro. E aqui vai o segundo bizu mais bizurado da álgebra é que:

A soma da diagonal principal é igual à soma dos autovalores

Saca só, como a matriz é 2 × 2 , vamos possuir dois autovalores, que podem ser distintos ou não, vamos chamá-los de λ 1 e λ 2 . Logo a soma dos autovalores é:

λ 1 + λ 2

Já para nossa matriz T = 1 2 1 2 1 2 1 2 , a soma da diagonal principal é:

1 2 + 1 2 = 1

Logo, pelo nosso bizu master de todos os tempos, temos que:

λ 1 + λ 2 = 1

E a gente acabou de descobrir que um autovalor vale   λ 1 = 1 , logo:

1 + λ 2 = 1

λ 2 = 0

Portanto, nossa afirmativa (I) é verdadeira.

Passo 5

Já na afirmativa (II) ele diz que 1 ,   0 e 0 ,   1 . Então bora verificar nossos autovetores da matriz T pra ver se eles realmente batem. Saca só, para encontrar o autoespaço associado a um autovalor λ , fazemos:

N u c T - λ I

O núcleo dessa matriz T - λ I , vai ser o nosso autoespaço. Logo para λ = 0 , temos:

N u c 1 2 1 2 1 2 1 2 - 0 1 0 0 1

N u c 1 2 1 2 1 2 1 2 - 0 0 0 0

Então na verdade queremos descobrir:

N u c 1 2 1 2 1 2 1 2

Escalona a segunda linha temos que:

1 2 1 2 1 2 1 2 ⇒   L 2 = L 2 - L 1 = 1 2 1 2 0 0

Então na primeira linha, temos:

1 2 x + 1 2 y = 0

1 2 x = - 1 2 y

x = - y

Portanto o autovetor v → = x ,   y associado a λ = 0 é dado por:

x ,   y = - y ,   y

v → = - 1 ,   1 y

v → = - 1 ,   1

Só que na afirmativa (II), não cita em nenhum momento o autovetor v → = - 1 ,   1 . Portanto a afirmativa (II) é falsa. Resposta certa letra (c).

Resposta

Letra (c)