Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

6 7 - 3 7 - 2 7 - 3 7 - 2 7 - 6 7 - 2 7 - 6 7 3 7 é a matriz de uma reflexão ortogonal. O autoespaço associado ao autovalor positivo é:

a   x + 2 y + 3 z = 0

b   A reta na direção do vetor 1,2 , 3

c   x + 3 y + 2 z = 0

d   A reta na direção do vetor 1,3 , 2

Passo 1

Sabemos que os autovalores de uma reflexão são 1 e - 1 . Então queremos o autoespaço associado ao autovalor 1 . A matriz é 3 × 3 então terá 3 autovalores. O traço da matriz é 6 7 - 2 7 + 3 7 = 1 . Então os autovalores tem que ser 1 ,   1 e - 1 . Então temos um plano associado ao autovalor 1 , e a reta perpendicular a ele associada ao autovalor - 1 .

Agora repara que nas opções temos dois planos e duas retas perpendiculares a cada um deles (as coordenadas do vetor gerador das retas são iguais aos coeficientes das equações dos planos). Então vamos ver qual reta está associada ao autovalor - 1 e com isso achamos o plano associado ao autovalor 1 !

6 7 - 3 7 - 2 7 - 3 7 - 2 7 - 6 7 - 2 7 - 6 7 3 7 1 2 3 = - 6 7 - 25 7 5 7 ≠ - 1 ∙ 1 2 3

6 7 - 3 7 - 2 7 - 3 7 - 2 7 - 6 7 - 2 7 - 6 7 3 7 1 3 2 = - 1 - 3 - 2 = - 1 ∙ 1 3 2

O 1,3 , 2 é o vetor associado ao autovalor - 1 , então o plano perpendicular a ele x + 3 y + 2 z = 0 está associado ao autovalor 1 .

Resposta

Letra ( c )