Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Considere as seguintes transformações lineares de R 3 no R 3 : P , uma projeção ortogonal sobre um plano, e R , uma reflexão através de um plano. Qual das transformações abaixo possui - 1 entre seus autovalores?

  1. P 2
  2. R 3
  3. P 3
  4. R 2

Passo 1

Show de bolinhas meus amores, primeiro vamos entender o que cada transformação tá fazendo. Saca só, ele diz que P é uma projeção ortogonal sobre um plano. Vamos supor que esse plano seja G , dado por:

G = v → ,   u →

Onde u → e v → são os vetores que geram o plano, só que esses vetores que pertencem ao plano, quando submetidos a projeção, permanecerão no mesmo lugar, tal que:

P v → = v →

P u → = u →

Isso quer dizer que u → e v → serão autovetores de P associados ao autovalor 1 . Iradoso, e como estamos em R 3 e esse plano G possui apenas duas dimensões, teremos um complemento ortogonal desse plano, para completar as dimensões de R 3 , vamos chamar ele de w → :

G ⊥ = w →

E como estamos falando de uma projeção ortogonal, quer dizer que quando aplicada a transformação sobre um vetor ortogonal ao plano, o resultado é nulo:

P w → = 0 →

Portanto w → é o outro autovetor de P só que dessa vez associado ao autovalor 0 . Então descobrimos que nossa matriz P possui dois autovalores 1 e 0 , onde 1 se repete duas vezes.

Já a reflexão ortogonal através de um plano, faz quase a mesma coisa que a projeção, só que dessa vez o vetor ortogonal ao invés de ser levado no 0 , é refletido. Tal que:

R u → = u → ,     R v → = v → ,     R w → = - w →

Fazendo com que a matriz reflexão possua os autovalores 1 e - 1 .

Passo 2

Então a nossa matriz da letra (a), P 2 estaria elevando os autovalores 1 e 0 ao quadrado:

1 2 = 1 ,     0 2 = 0

Portanto não pode ser ela. E mesmo se fosse elevado ao cubo como na letra (d), ainda assim o autovalor - 1 não existiria:

1 3 = 1 ,     0 3 = 0

Logo letra (a) e (d) são falsas!!

Mas já para a reflexão, se a gente elevar ao quadrado os autovalores 1 e - 1 , temos:

1 2 = 1 ,     - 1 2 = 1

Onde o autovalor - 1 deixa de existir. MAAASSSS se os autovalores forem elevados ao cubo, como em R 3 na letra (b), teremos:

1 3 = 1 ,     - 1 3 = - 1

E o autovalor - 1 continua existindo em R 3 . Resposta certa, letra (b).

Resposta

Letra (b)