1.

Calcule os autovalores e autoespaços associados de:

a   uma reflexão no plano 3 x - 2 y + z = 0 em R 3 ;

b   uma projeção ortogonal numa reta em R 3 com P 1 , - 1,0 = 1 , - 1,0 ;

c   P : R 4 → R 4 uma projeção ortogonal na reta gerada por 1,2 , - 1,1 .

Resolução
2.

Seja A a projeção ortogonal sobre a direção do vetor ( 0 , 1 ) seguida de uma expansão de 2 na direção ( 1,0 ) .

Os autovalores de A são:

( a ) 1 e 1

( b ) 2 e 0

( c ) 2 e 1

( d ) 1 e 0

Resolução
3.

Seja A a matriz 3 × 3 que representa uma reflexão através do plano x + 2 z = 0 .

Marque a alternativa correta:

a   Os autovalores de A são 0 e 1

b   Os autovalores de A são - 1 ,   0 e 1

c   Os autovalores de A são - 1 e 0

d   Os autovalores de A são - 1 e 1

Resolução
4.

Seja A uma matriz 3 × 3 tal que T x = A x é uma rotação em torno de uma reta passando pela origem. Qual dos seguintes polinômios pode ser o polinômio característico de A ?

a   p λ = - λ 3 + λ 2 - λ

b     p λ = - λ 3 + λ 2 - λ + 1

c   p λ = - λ - 1 λ - 2 2 λ + 2 2

d   p λ = - λ 3 + λ 2 + λ - 1

Resolução
5.

Seja T : R 2 → R 2 uma reflexão ortogonal em relação a uma reta. Sabendo-se que v = 1,2 é um autovetor associado ao autovalor 1 , T x , y é dada por:

a   T x , y = x 5 + 2 y 5 , - 2 x 5 + y 5

b   T x , y = x , - y

c   T x , y = - 3 x + 4 y , 4 x + 3 y

d   T x , y = - 3 x 5 + 4 y 5 , 4 x 5 + 3 y 5

Resolução
6.

Seja A uma matriz 2 × 2 . Assinale a alternativa VERDADEIRA:

a   A sempre tem dois autovetores linearmente independentes

b   A sempre tem infinitos autovetores

c   A pode não ter autovetores

d   A pode ter apenas um autovetor

Resolução
7.

Seja A uma reflexão do R 2 em relação ao eixo Y seguida da expansão de 2 na direção do eixo X , mantendo o eixo Y fixo. Os autovalores de A são:

a   0 e - 2

b 1 e - 2

c   1 e 2

d   1 e - 1

Resolução
8.

Seja T a projeção ortogonal no plano x + 2 y + 3 z = 0 . Assinale abaixo um vetor que NÃO É AUTOVETOR de T :

( a ) 1,2 , 3

( b ) - 5,1 , 1

( c ) - 2,1 , 0

( d ) - 1,3 , 3

Resolução
9.

Seja T uma transformação linear tal que T 1 , 2,3 = 0,0 , 0 :

  1. T pode ser uma reflexão por um plano de R 3
  2. T pode ser uma reflexão por uma reta de R 3

a   I é falsa, mas I I é verdadeira

b   I é verdadeira, mas I I é falsa

c   I e I I são verdadeiras

d   I e I I são falsas

Resolução
10.

Seja 0 < θ < π .

  1. Se T : R 2 → R 2 é uma rotação de θ radianos centrada na origem, então T não possui autovetores.
  2. Se R : R 3 → R 3 é uma rotação de θ radianos, em torno de um eixo passando pela origem, então R não possui autovetores.

( a ) I e I I são verdadeiras

( b ) I e I I são falsas

( c ) I é verdadeira, mas I I é falsa

( d ) I é falsa, mas I I é verdadeira

Resolução
11.

Seja R : R 2 → R 2 uma reflexão pela reta y = x e S : R 2 → R 2 uma projeção pela reta y = x . Qual o polinômio característico p λ de T = R S ?

a   p λ = λ λ - 1

b   p λ = λ + 1 2

c   p λ = λ 2

d   p λ = λ λ + 1

Resolução
12.

A = 6 7 - 2 7 - 3 7 - 2 7 3 7 - 6 7 - 3 7 - 6 7 - 2 7 é a matriz que realiza a reflexão ortogonal em um subespaço W . O autoespaço associado ao autovalor negativo é:

a   x + 2 y + 3 z = 0

b   A reta na direção do vetor 1,2 , 3

c   x + 3 y + 2 z = 0

d   A reta na direção do vetor 1 , 3,2

Resolução
13.

Seja T uma transformação linear com determinante nulo. O que podemos afirmar sobre T ?

a   T é uma expansão homogênea

b   T é uma rotação

c   T não é uma projeção ortogonal

d   T não é uma reflexão ortogonal

Resolução
14.

Seja R a Reflexão Ortogonal pelo plano x + y + z = 0 . A matriz desta transformação linear na base canônica é:

a - 1 3 2 3 2 3 2 3 - 1 3 2 3 2 3 2 3 - 1 3

b - 1 - 1 - 1 1 0 - 1 1 - 1 0

c 1 3 - 2 3 - 2 3 - 2 3 1 3 - 2 3 - 2 3 - 2 3 1 3

d - 1 3 - 1 3 - 1 3 1 3 1 3 - 2 3 1 3 - 2 3 1 3

Resolução
15.

Seja T : R 3 → R 3 a rotação de ângulo θ = π 4 em torno do esixo orientado determinado pelo vetor unitário u = 1 3 - 2 , - 2,1 .

a Encontre uma base ortonormal β de R 3 tal que T β β = 1 0 0 0 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ .

b Sendo ϵ a base canônica de R 3 , calcule T ϵ ϵ .

c Qual dos itens a seguir corresponde ao autoespaço de T associado ao autovalor 1 ? Justifique.

i   1,1 , 4                     i i 1,1 , 4                     i i i 1 3 - 2 , - 2,1                     i v - 2 , - 2,1

Resolução
16.

É dado que A = 5 6 1 3 - 1 6 1 3 1 3 1 3 - 1 6 1 3 5 6 é a matriz de uma projeção ortogonal. O autoespaço associado ao autovalor de menor módulo é:

a   O plano x - 2 y + z = 0