Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Calcule os autovalores e autoespaços associados de:

a   uma reflexão no plano 3 x - 2 y + z = 0 em R 3 ;

b   uma projeção ortogonal numa reta em R 3 com P 1 , - 1,0 = 1 , - 1,0 ;

c   P : R 4 → R 4 uma projeção ortogonal na reta gerada por 1,2 , - 1,1 .

Passo 1

a   Bom, temos uma reflexão, então já sabemos que teremos autovalores 1 e - 1 .

Ele já deu o plano em torno do qual estamos refletindo. Sabemos então que quaisquer dois vetores que formem uma base desse plano são autovetores associados ao autovalor 1 .

Vamos achar uma base para esse plano então ;)

3 x - 2 y + z = 0

z = - 3 x + 2 y

Logo, os vetores desse plano são da forma:

x , y , - 3 x + 2 y = x 1,0 , - 3 + y 0,1 , 2

Então uma base para o plano será:

1,0 , - 3 , 0,1 , 2

Logo, temos os autovetores 1 , 0 , - 3 e 0,1 , 2 associados ao autovalor 1 .

Passo 2

Já o autovalor - 1 está associado ao complemento ortogonal desse plano. Como estamos no R 3 , ele será a reta gerada pelo vetor que possui os coeficientes da equação do plano como coordenadas:

s p a n 3 , - 2,1

Então temos o autovetor 3 , - 2,1 associado ao autovalor - 1 .

Passo 3

b   Dessa vez temos uma projeção, então teremos os autovalores 1 e 0 .

Repare, no entanto, que ele não dá diretamente o espaço no qual estamos projetando. Opa, mas ele dá a informação que estamos projetando em uma reta e que:

P 1 , - 1,0 = 1 , - 1,0

Bom, disso tiramos que 1 , - 1,0 é autovetor associado ao autovalor 1 . Isso quer dizer que esse vetor gera a reta na qual estamos projetando!!

Passo 4

Como estamos no R 3 , os vetores do plano ortogonal à essa reta serão autovetores associados ao autovalor 0 . O plano ortogonal ao vetor 1 , - 1,0 tem equação dada pelas coordenadas do vetor:

x - y = 0 ⇒ x = y

Logo, esse plano possui vetores da forma:

x , x , z = x 1,1 , 0 + z 0,0 , 1

Então temos os autovetores 1 , 1,0 e 0,0 , 1 associados ao autovalor 0 .

Passo 5

c   Novamente temos uma projeção, então autovalores 1 e 0 . Ele já diz que a reta na qual estamos projetando é aquela gerada pelo vetor 1 , 2 , - 1,1 .

Temos então o autovetor 1 , 2 , - 1,1 associado ao autovalor 1 .

Passo 6

Os autovetores associados ao autovalor 0 serão aqueles do espaço ortogonal à reta. Como estamos no R 4 , esse espaço terá dimensão 3 . E a melhor parte, aquele macete dos coeficientes também vale aqui! É só pegarmos as coordenadas do vetor e jogarmos nos coeficientes que teremos nosso espaço ortogonal:

x + 2 y - z + w = 0

x = - 2 y + z - w

- 2 y + z - w , y , z , w = y - 2,1 , 0,0 + z 1,0 , 1,0 + w - 1,0 , 0,1

Dessa forma temos os autovetores - 2 , 1,0 , 0 , 1,0 , 1,0 e - 1,0 , 0,1 associados ao autovalor 0 .

Resposta

a   Autovetor 3 , - 2,1 associado ao autovalor - 1 .

Autovetores 1 , 0 , - 3 e 0,1 , 2 associados ao autovalor 1 .

b   Autovetor 1 , - 1,0 associado ao autovalor 1 .

Autovetores 1 , 1,0 e 0,0 , 1 associados ao autovalor 0 .

c   Autovetor 1 , 2 , - 1,1 associado ao autovalor 1 .

Autovetores - 2 , 1,0 , 0 , 1,0 , 1,0 e - 1,0 , 0,1 associados ao autovalor 0 .