Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

Ver Teoria

Enunciado

Considere a transformação linear T : R 2 → R 2 , tal que existe um vetor v → , não-nulo, onde T v → = v → . Se o determinante da matriz for igual a 0 , então:

a   T é uma projeção na reta definida por v →

b   T é uma reflexão pela reta definida por v →

c   T é uma rotação

d   T é uma expansão

Passo 1

Primeiro vamos analisar o enunciado. Ele diz que existe um vetor v → , não-nulo, onde T v → = v → . Opa então o vetor v → é autovetor associado ao autovalor 1 . Até aí não podemos dizer muito sobre a transformação ainda.

Mas ele também diz que o determinante é 0 ! E sabemos que o determinante de uma matriz é o produto dos seus autovalores! Como um dos autovalores é 1 temos que:

0 = 1 ∙ λ

λ = 0

Opa, descobrimos que a matriz tem os autovalores 1 e 0 !! Então ela é uma projeção na reta definida por v → (que é o vetor associado ao autovalor 1 ).

Resposta

Letra a