Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

É dado que A = 5 6 1 3 - 1 6 1 3 1 3 1 3 - 1 6 1 3 5 6 é a matriz de uma projeção ortogonal. O autoespaço associado ao autovalor de menor módulo é:

a   O plano x - 2 y + z = 0

b O plano x + y - 2 z = 0

c   A reta gerada por 1 , - 2,1

d   A reta gerada por 1,1 , - 2

Passo 1

Sabemos que uma matriz projeção tem apenas autovalores 1 e 0 . Então o autoespaço associado ao autovalor de menor módulo é o autoespaço associado ao autovalor 0 .

Temos que:

t r A = 5 6 + 1 3 + 5 6 = 2

Como o traço é a soma dos autovalores, temos que a matriz tem dois autovalores 1 e um autovalor 0 . Ou seja, o autoespaço associado ao autovalor 0 tem que ser uma reta, já que ele só aparece uma vez!

Então é só pegarmos as opções que falam em reta e aplicar o vetor gerador da reta na matriz. O que der zero é a nossa resposta!

Letra c

5 6 1 3 - 1 6 1 3 1 3 1 3 - 1 6 1 3 5 6 1 - 2 1 = 0 0 0

Pronto, a certa é a c !

Resposta

Letra c