Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

A = 5 6 1 3 - 1 6 1 3 1 3 1 3 - 1 6 1 3 5 6 é a matriz que realiza a projeção ortogonal em um subespaço W . O autoespaço associado ao autovalor de menor módulo é:

( a ) A reta na direção do vetor 1 , - 2,1

( b ) x - 2 y + z = 0

( c ) x + y - 2 z = 0

( d ) A reta na direção do vetor 1,1 , - 2

Passo 1

Como a matriz representa uma projeção sabemos que seus autovalores são 0 e 1 . Logo, o autovalor de menor módulo é o 0 . E qual é o autoespaço associado ao autovalor zero? É o núcleo da matriz! Então no final das contas só precisamos descobrir qual opção nos dá o núcleo da matriz.

Beleza, vamos testar as opções que nos dão só um vetor primeiro já que são mais fáceis haha.

Letra a

5 6 1 3 - 1 6 1 3 1 3 1 3 - 1 6 1 3 5 6 1 - 2 1 = 0 0 0

Opa, sabemos que 1 , - 2,1 faz parte do núcleo então! Mas será que ele forma o núcleo todo? Bom, se jogarmos ele nas equações dos planos das opções vamos ver que não bate:

1 - 2 - 2 + 1 = 6 ≠ 0

1 - 2 - 2 1 = - 3 ≠ 0

Então essa é a certa mesmo. Nós testamos se 1 , - 2,1 pertencia a um dos planos das opções porque é possível que o plano todo fosse o autoespaço e não apenas o 1 , - 2,1 sacou?

Resposta

Letra ( a )