Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Seja A uma matriz que representa uma transformação linear T : R 2 → R 2 . Se as colunas de A são linearmente independentes podemos afirmar que T NÃO pode ser uma:

a   Projeção ortogonal na reta cujo vetor diretor é 1,1

b Reflexão pela reta cujo vetor diretor é o 1,1

c   Rotação de um ângulo não nulo em torno da origem

d   Transformação que leva o vetor 1,0 no vetor 2,0

Passo 1

Vamos desenvolver esse enunciado. Se as colunas de A são linearmente independentes então o espaço gerado por elas tem dimensão 2 . Como a matriz é R 2 → R 2 pelo T N I temos que a dimensão do núcleo é 0 !

E isso quer dizer que a 0 não pode ser um autovalor dessa transformação, caso contrário, teríamos um autoespaço de dimensão no mínimo igual a 1 associado à ele, que seria o núcleo. Mas se 0 não é um autovalor então nossa T L não pode ser uma projeção! A resposta é a a .

Resposta

Letra a