Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Seja A a projeção ortogonal sobre a direção do vetor ( 0 , 1 ) seguida de uma expansão de 2 na direção ( 1,0 ) .

Os autovalores de A são:

( a ) 1 e 1

( b ) 2 e 0

( c ) 2 e 1

( d ) 1 e 0

Passo 1

Bom, vamos por partes. Sabemos que o espaço gerado por ( 0 ,   1 ) é o eixo y .

Isso quer dizer que a matriz projeta todos os vetores sobre o eixo y . Logo, as coordenadas x de todos os vetores serão zeradas. Conseguiu ver?

Bom, em seguida, temos uma expansão de 2 na direção 1,0 , ou seja, do eixo x . Isso quer dizer que as coordenadas x dos vetores serão dobradas. Só que como projetamos no eixo y , não existem coordenadas x ! Então essa expansão na realidade não faz absolutamente nada!!

Logo, é como se tivéssemos apenas a projeção, que como sabemos possui autovalores 1 e 0 . Então, a resposta é letra d .

Resposta

( d )