Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Seja T : R 3 → R 3 a rotação de ângulo θ = π 4 em torno do esixo orientado determinado pelo vetor unitário u = 1 3 - 2 , - 2,1 .

a Encontre uma base ortonormal β de R 3 tal que T β β = 1 0 0 0 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ .

b Sendo ϵ a base canônica de R 3 , calcule T ϵ ϵ .

c Qual dos itens a seguir corresponde ao autoespaço de T associado ao autovalor 1 ? Justifique.

i   1,1 , 4                     i i 1,1 , 4                     i i i 1 3 - 2 , - 2,1                     i v - 2 , - 2,1

Passo 1

a Qualquer base ortonormal β = u , v 1 , v 2 , onde v 1 , v 2 = u ⊥ será uma base que vai satisfazer o que foi pedido! Se definirmos v 1 como:

v 1 = 1 2 1 , - 1,0

Vemos que ele é normal e ortogonal em relação a u . Sendo assim, podemos achar v 2 com o produto vetorial entre u e v 1 :

v 2 = u × v 1 = 1 3 2 i j k - 2 - 2 1 1 - 1 0 = 1 3 2 1,1 , 4

Então:

β = 1 3 - 2 , - 2,1 , 1 2 1 , - 1,0 , 1 3 2 1,1 , 4

A ordem do produto vetorial aqui não faz diferença. Você apenas acharia o v 2 com sinal trocado, mas continuaria sendo uma base que satisfaz o que foi pedido!

Passo 2

b Temos que:

T ϵ ϵ = I ϵ β ∙ T β β ∙ I β ϵ

Já temos a matriz T β β , e a matriz I ϵ β podemos obter simplesmente jogando os vetores de β nas colunas de uma matriz:

I ϵ β = - 2 3 1 2 1 3 2 - 2 3 - 1 2 1 3 2 1 3 0 4 3 2

Já a matriz I β ϵ é a inversa de I ϵ β . Por sorte, I ϵ β é uma matriz ortogonal! Então sua inversa é igual a sua transposta! Substituindo tudo na fórmula, temos:

T ϵ ϵ = - 2 3 1 2 1 3 2 - 2 3 - 1 2 1 3 2 1 3 0 4 3 2 1 0 0 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 - 2 3 - 2 3 1 3 1 2 - 1 2 0 1 3 2 1 3 2 4 3 2

T ϵ ϵ = 1 9 4 + 5 / 2 4 - 7 / 2 - 2 - 4 / 2 4 - 1 / 2 4 + 5 2 - 2 + 8 / 2 - 2 + 8 / 2   - 2 - 4 / 2 1 + 8 / 2

Meio assustadoramente grande essa resposta, mas é isso mesmo =)

Passo 3

c Pra aliviar da contarada toda que teve na b botaram uma teórica no final haha. O autoespaço de uma rotação no R 3 associado ao autovalor 1 será sempre o eixo em torno do qual estamos girando lembra? Então o autoespaço é dado pelo item i v !

Repare que o vetor do item i i i tem a direção certa, mas ele está representado como um conjunto, e não como um espaço gerado! Como a letra pediu o autoespaço, precisamos dar um espaço gerado como resposta ;)

Resposta

a β = 1 3 - 2 , - 2,1 , 1 2 1 , - 1,0 , 1 3 2 1,1 , 4

b T ϵ ϵ = 1 9 4 + 5 / 2 4 - 7 / 2 - 2 - 4 / 2 4 - 1 / 2 4 + 5 2 - 2 + 8 / 2 - 2 + 8 / 2   - 2 - 4 / 2 1 + 8 / 2

c Alternativa i v .