Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear, v = 1 , 0,1 , u = 0,1 , 0 e w um vetor ortogonal a u e v . Considere que T v = v , T u = u e w pertence ao núcleo de T . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

a   T 1,0 , - 1 = 0,1 , 0

b   T - 2,0 , 2 = 2,0 , 2

c   T 2,1 , 0 = 1,1 , 1

d   T 1,1 , 1 = 2,1 , 0

Passo 1

A primeira coisa que você tem que perceber aqui é que u e v são autovetores associados ao autovalor 1 ! Dessa forma, encontrando o espaço gerado por u e v , nós encontraremos o autoespaço associado ao autovalor 1 . Vamos chamar esse espaço de H :

H = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 0 = a , b , a

Ou seja, temos um plano (duas variáveis livres) tal que as coordenadas x e z são iguais! Por outro lado, o enunciado também diz que os vetores ortogonais a v e u estão no núcleo da T L ! Ou seja, são autovetores associados ao autovalor 0 !

Então temos uma transformação que possui um plano como autoespaço associado ao autovalor 1 e uma reta ortogonal à esse plano como autoespaço associado ao autovalor 0 . Isso te lembra alguma coisa? Uma projeção ortogonal!

E mais, sabemos que essa projeção projeta sobre o plano x = z . Ou seja, ela só gera vetores sobre esse plano. Isso elimina a letra d .

A reta ortogonal a H que é levada no zero possui vetores assim:

t 1,0 , - 1

Isso elimina as letras a e b que levam vetores dessa reta em vetores não nulos.

Ou seja, a certa é a c .

Resposta

Letra c