Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Seja A a matriz que representa a projeção ortogonal na reta y = x seguida da reflexão pela reta y = - x . Assinale os autovalores de A :

(a) apenas 1

(b) 1 e 0

(c) - 1 e 0

(d) 1   e - 1

Passo 1

Bom, primeiro eu tenho uma projeção ortogonal em uma reta, sabemos que os autovalores desse tipo de transformação são 1 e 0.

Isso porque se eu aplicar vetores pertencentes a reta y = x , ou seja, aqueles cujas coordenadas são:

x , y = y , y = 1,1 y

A transformação vai me retornar eles mesmos   ( λ = 1 ) .

E se eu aplicar vetores perpendiculares a essa reta, y , x = - 1,1 y , a projeção vai ser nula e portanto estão associados ao autovalor λ = 0 .

Passo 2

Agora vamos ver o que acontece com esses autovetores quando aplicamos a segunda transformação.

Primeiramente, aqueles que foram levados a zero pela projeção, depois de refletidos pela reta y = - x vão continuar sendo zero! Assim, já provamos que λ = 0 é um autovalor dessa composição de transformações.

Passo 3

Agora os autovetores associados a λ = 1 , vamos ver o que acontece com eles:

Opa, após a reflexão pela reta y = - x , a segunda transformação, o vetor pertencente a y = x continua na mesma direção, apenas com sentido contrário! Logo, chegamos a conclusão que outro autovalor dessa composição de transformações é - 1 .

Resposta

c