Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 3 , cujo polinômio característico é p λ = - λ + 1 λ - 1 2 . Então:

a   A pode ser uma rotação em torno de uma reta;

b   A pode ser uma projeção em uma reta;

c   A pode ser uma reflexão por um plano;

d   A pode ser uma projeção em um plano;

Passo 1

Pelo polinômio característico podemos ver que a matriz possui autovalor - 1 de multiplicidade 1 e autovalor 1 com multiplicidade 2 . Bom, mas o que isso nos diz? Primeiro que é uma reflexão certo? Ah então é a letra c . Opa, calma aí.

Pensa bem, o que é uma reflexão? Quando você reflete em torno de uma reta você está na verdade girando 180 ° em torno dela! Então a princípio pode ser tanto a a quanto a c .

Tá, então como sabemos qual o certo? Bom, pela multiplicidade do autovalor 1 ! O autovalor 1 está associado ao autoespaço em torno do qual estamos refletindo lembra? Como ele tem multiplicidade 2 esse espaço possui duas dimensões! Então tem que ser a c já que ela diz que estamos refletindo por um plano.

Resposta

Letra c