Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 3 tal que T x = A x é uma rotação em torno de uma reta passando pela origem. Qual dos seguintes polinômios pode ser o polinômio característico de A ?

a   p λ = - λ 3 + λ 2 - λ

b     p λ = - λ 3 + λ 2 - λ + 1

c   p λ = - λ - 1 λ - 2 2 λ + 2 2

d   p λ = - λ 3 + λ 2 + λ - 1

Passo 1

Ta, vamos devagar. Primeira coisa, como é uma rotação em torno de uma reta então os vetores dessa reta não se alteram certo? Então já temos o autovalor 1 garantido. Vamos ver qual desses polinômios não possui o valor 1 como raiz pra já eliminarmos algumas alternativas.

a   p 1 = - 1 3 + 1 2 - 1 = - 1

b   p 1 = - 1 3 + 1 2 - 1 + 1 = 0

c   p 1 = - 1 - 1 ⏟ 0 1 - 2 2 1 + 2 2 = 0

d   p 1 = - 1 3 + 1 2 + 1 - 1 = 0

Ta, eliminamos a a já. É um começo haha.

Passo 2

Ta, agora começa a parte mais obscura da questão haha. Imagine que a rotação seja de 180 ° . Nesse caso, os vetores no plano ortogonal à reta seriam autovetores associados ao autovalor - 1 concorda? É como se eles tivessem sendo refletidos!

Se esse for o caso, teríamos que ter o autovalor - 1 de multiplicidade 2 já que o autoespaço associado ao autovalor - 1 seria um plano. Bom a única equação que têm o - 1 como raiz é a d :

p - 1 = - - 1 3 + - 1 2 + - 1 - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0

Agora falta verificar se ela possui multiplicidade 2 no - 1 . Se for esse o caso teremos:

d   p λ = - λ 3 + λ 2 + λ - 1 = λ + 1 2 λ - 1 = λ 2 + 2 λ + 1 λ - 1 = λ 3 + λ 2 - λ - 1

- λ 3 + λ 2 + λ - 1 = λ 3 + λ 2 - λ - 1

Claramente não temos uma igualdade, então essa letra pode ser eliminada.

Passo 3

Nossa isso tudo só pra eliminar uma letra? Aí que se engana rapaz, agora que provamos que a rotação não pode ser uma reflexão (não estamos girando 180 ° ) isso quer dizer que seus dois outros autovalores serão complexos! Isso também elimina a letra c que possui autovalores reais. Então a resposta tem que ser a b .

Obs.: Essa questão é considerada difícil então não se assustem se não conseguiram resolver de cara haha.

Resposta

Letra b