Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

Ver Teoria

Enunciado

Seja H o plano em R 4 determinado pelos vetores 1 , 0,0 , 0 ,   ( 1,1 , 0,0 ) . Calcule o determinante da matriz que representa a reflexão ortogonal por H .

a   0

b - 1

c   1

d   4

Passo 1

Bom, você pode fazer do jeito super demorado, calcular a matriz, depois calcular o determinante e não ter tempo pra fazer a prova toda haha. Ou pode usar os bizus que te passei de forma inteligente.

Lembra que o determinante de uma matriz é o produto de seus autovalores? Além disso, sabemos que os autovalores de uma reflexão são 1 ou - 1 . Olha a tabela aí:

Bom, estamos refletindo em torno de um plano (dimensão 2 ). Então nosso autovalor 1 terá multiplicidade 2 . O complemento ortogonal do nosso H também tem dimensão dois já que estamos no R 4 . Então o autovalor - 1 também terá multiplicidade 2 !

Logo, seja A a matriz que representa essa reflexão, temos:

det ⁡ A = - 1 2 ∙ 1 2 = 1

Resposta

Letra ( c )