Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Seja R a reflexão em R 3 pelo plano x + y + z = 0 e v → = 0,4 , 5 . Calcule R v → :

a   - 6 , - 2 , - 1

b   - 3,1 , 2

c   - 3 , - 2 , - 1

d   - 6,2 , 1

Passo 1

Opa, sabemos duas coisas sobre a reflexão, certo? A transformação aplicada num vetor no espaço em torno do qual estamos refletindo resulta no próprio vetor! E a transformação aplicada num vetor no espaço perpendicular ao qual estamos refletindo é o vetor multiplicado por - 1 !

Então vamos achar uma base para esse plano em torno do qual estamos refletindo:

x + y + z = 0

x = - y - z

- y - z , y , z = y - 1,1 , 0 + z - 1,0 , 1

Beleza, achamos uma base para o plano. Agora falta acharmos o vetor perpendicular! Ele é fácil de achar, é só pegarmos os coeficientes da equação do plano:

x + y + z = 0

1,1 , 1

Beleza, agora aplicamos a T L nesses 3 vetores que achamos:

R - 1,1 , 0 = - 1,1 , 0

R - 1,0 , 1 = - 1,0 , 1

R 1,1 , 1 = - 1 , - 1 , - 1

Passo 2

Como temos uma base para o R 3 podemos escrever qualquer vetor nessa base e usando a linearidade da transformação descobrir o resultado que queremos:

0,4 , 5 = a - 1,1 , 0 + b - 1,0 , 1 + c 1,1 , 1

- a - b + c = 0 a + c = 4 b + c = 5       I I I I I I

De I temos que:

c = a + b

Somando I I e I I I :

a + b ⏟ c + 2 c = 9

3 c = 9

c = 3

Substituindo c em I I :

a + 3 = 4

a = 1

Substituindo c em I I I :

b + 3 = 5

b = 2

Passo 3

Sendo assim, temos que:

0,4 , 5 = - 1,1 , 0 + 2 - 1,0 , 1 + 3 1,1 , 1

Aplicando a transformação em todos os vetores:

R 0,4 , 5 = R - 1,1 , 0 + 2 R - 1,0 , 1 + 3 R 1,1 , 1

R 0,4 , 5 = - 1,1 , 0 + - 2,0 , 2 + - 3 , - 3 , - 3

R 0,4 , 5 = - 6 , - 2 , - 1

Resposta

Letra a