Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

Ver Teoria

Enunciado

Seja A uma reflexão do R 2 em relação ao eixo Y seguida da expansão de 2 na direção do eixo X , mantendo o eixo Y fixo. Os autovalores de A são:

a   0 e - 2

b 1 e - 2

c   1 e 2

d   1 e - 1

Passo 1

Ta, vamos usar um pouco a cabeça agora haha. Tenta visualizar o que eu vou falar! A matriz reflete e depois expande na direção do eixo X .

Ta, pra parte da reflexão temos os autovalores 1 associado ao eixo Y e o - 1 associado ao eixo X ! Já quando fazemos a expansão ficamos com o autovalor 1 novamente associado ao eixo Y (já que apenas expandimos em X ) e o eixo X tem autovalor 2 associado à ele!

Então no final das contas os vetores do eixo Y ficam paradinhos e os do eixo X são refletidos e dobrados de tamanho! Logo temos o autovalor 1 associado ao eixo Y e o autovalor - 2 associado ao eixo X !

Passo 2

Eaí conseguiu visualizar isso? Se conseguiu, ótimo, se não conseguiu não tem problema que vou dar uma solução mais matemática pra você haha!

A matriz que reflete pelo eixo Y é essa:

- 1 0 0 1

Já a que amplia na direção X é a seguinte:

2 0 0 1

Agora temos que prestar muuuita atenção na ordem das matrizes (na real nesse caso não faria diferença a ordem, mas normalmente faz :p). A que fica mais a esquerda é a que aplicamos primeiro, então:

2 0 0 1 - 1 0 0 1 = - 2 0 0 1

Como ela é uma matriz diagonal, os autovalores são os elementos da própria diagonal! Que são - 2 e 1 , exatamente os valores que tínhamos achado pela nossa análise lá em cima!

Eu recomendo que treine essa visualização já que economiza um tempo considerável de prova, mas se tiver dificuldade dá uma gravada nessas matrizes manjadas e vai na conta mesmo haha!

Resposta

Letra b