Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Seja R : R 2 → R 2 uma projeção na reta y + 2 x = 0 e S : R 2 → R 2 uma reflexão pela reta - x + 2 y = 0 . Qual o polinômio característico p λ de T = S R ?

a   p λ = λ λ - 1

b   p λ = λ λ + 1

c   p λ = λ + 1 2

d   p λ = λ 2

Passo 1

Ta, a nossa T é formada assim:

T = S R

Ou seja, primeiro aplicamos a matriz R e depois a S ! Então primeiro projetamos sobre a reta y + 2 x = 0 ! Com isso os vetores dessa reta ficam parados e os perpendiculares são levados no zero. Então vamos escrever isso.

Os vetores da reta y + 2 x = 0 são da forma:

y = - 2 x

t 1 , - 2

E os vetores perpendiculares são da forma:

t ( 2,1 )

Logo,

R 1 , - 2 = 1 , - 2

R 2,1 = 0,0

Passo 2

Feito isso, todos os nossos vetores agora se encontram sobre a reta y + 2 x = 0 .

Agora nós refletimos pela reta - x + 2 y = 0 . Os vetores dela ficam parados e os ortogonais a ela são refletidos! Mas repare que todos os vetores que sobraram são ortogonais a ela!! Isso porque a reta - x + 2 y = 0 é ortogonal a reta y + 2 x = 0 :p

Então nossa S vai pegar vetores do tipo t 1 , - 2 e refletir eles:

S 1 , - 2 = - 1,2

Passo 3

Agora vamos pensar tudo como uma coisa só:

Os vetores da reta y + 2 x = 0 , t 1 , - 2 , se mantém inalterados e depois são refletidos pela reta ortogonal (são multiplicados por - 1 ). Então:

T 1 , - 2 = - 1,2

Já os vetores da reta - x + 2 y = 0 , t 2,1 , são levados no zero e lá ficam para sempre haha.

T 2,1 = 0,0

Passo 4

Ufa, terminamos de analisar essa bagaça! Meio difícil de visualizar né? Enfim, chegamos à conclusão de que temos o autovetor 1 , - 2 associado ao autovalor - 1 e o autovetor 2,1 associado ao autovalor 0 !

O único polinômio das opções que tem - 1 e 0 como raízes é o da letra b !

p λ = λ λ + 1

Resposta

Letra ( b )