Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Seja R : R 2 → R 2 uma reflexão pela reta y = x e S : R 2 → R 2 uma projeção pela reta y = x . Qual o polinômio característico p λ de T = R S ?

a   p λ = λ λ - 1

b   p λ = λ + 1 2

c   p λ = λ 2

d   p λ = λ λ + 1

Passo 1

Primeiro vamos entender o que nossa transformação T faz! Sabemos que a primeira T L a ser aplicada é a que está mais a direita. Então T aplica S ao vetor e depois R .

Ao aplicarmos S nós projetamos os vetores na reta y = x . Até aqui temos os autovalores 0 e 1 .

Em seguida aplicamos a R e refletimos os vetores pela reta y = x . Mas repare que todos os vetores já estão nessa reta pois a gente acabou de projetá-los nela! Logo essa reflexão vai manter todos os vetores inalterados! É como se ela nem existisse haha.

Sendo assim, no final das contas, temos os autovalores 0 e 1 . Então nosso polinômio característico deve ter como raízes 0 e 1 . A única opção assim é a a .

Resposta

Letra ( a )